Osová souměrnost

Zobrazení v osové souměrnosti Osová souměrnost je typ geometrického zobrazení. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti (i úhly), jedná se tedy o druh shodnosti.

Definice

Osová souměrnost. +more Osová souměrnost v rovině nebo prostoru s přímkou o jako osou (souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje prvky osy o na sebe samé a bod A ležící mimo osu o s průmětem S do osy o na bod A^\prime, který se nachází na polopřímce opačné k SA ve stejné vzdálenosti od S jako bod A (tj. platí pro něj |SA| = |SA^\prime|).

Útvar (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Osové souměrnosti v rovině jsou důležité, protože každá shodnost v rovině se dá složit z nejvýše tří osových souměrností.

Osovou souměrnost lze definovat i v euklidovském prostoru vyšších dimenzí, nazývá se pak obecně souměrnost podle přímky.

Příklady

Příklady os souměrnosti objektu * Úsečka má v rovině dvě osy souměrnosti - kolmici v jejím středu a přímku, na které úsečka leží. +more Přímka je osově souměrná, osou je libovolná různoběžná kolmice nebo přímka sama. * Rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný, má jedinou osu souměrnosti, osu jeho základny. * Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný. * Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet různých os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníka - například rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, čtverec čtyři, pravidelný šestiúhelník šest. * Kruh (i kružnice) jsou příkladem útvarů s nekonečně mnoha osami souměrnosti - každá přímka (v jejich rovině) procházející středem je osou souměrnosti. * Hyperbola, elipsa i parabola jsou dalšími příklady osově souměrných rovinných útvarů.

* Krychle, koule, kužel nebo válec jsou příkladem osově souměrného prostorového útvaru. * Jehlan je osově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je středově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základny procházející středem souměrnosti základny.

Vlastnosti

Osová souměrnost je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou osových souměrností se stejnou osou vzniká identita. Osová souměrnost je tedy (jako každá souměrnost) involucí.

Osová souměrnost v rovině mění orientaci útvarů - pokud bylo pořadí vrcholů v trojúhelníku ve směru pohybu hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů v osové souměrnosti je proti směru hodinových ručiček a naopak.

Osová souměrnost v (trojrozměrném) prostoru je zároveň otočením o 180 stupňů okolo stejné osy, takže je to přímá shodnost (přemístění) a orientaci zachovává.

Body ležící na ose souměrnosti jsou právě všechny její samodružné body. Všechny přímky kolmé k ose souměrnosti jsou samodružné.

Osová souměrnost v rovině má jen dva samodružné směry - směr její osy a směr k ní kolmý. V prostoru je rovněž samodružný směr osy a každý k ní kolmý.

Související články

Středová souměrnost * Rovinová souměrnost * Shodné zobrazení

Odkazy

POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus. * BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.

Kategorie:Geometrie Kategorie:Symetrie