Cauchyův vzorec

Cauchyův vzorec, pojmenovaný po Augustinovi-Louisovi Cauchyovi, je důležitý vztah v komplexní analýze. Vyjadřuje skutečnost, že holomorfní funkce definovaná na nějaké oblasti je i se svými derivacemi zcela určena svými hodnotami na hranici této oblasti. Navíc umožňuje hodnotu holomorfní funkce uvnitř oblasti i všechny její derivace v nějakém bodě spočítat, známe-li hodnoty funkce na hranici. Cauchyův vzorec ukazuje, že v komplexní analýze „diferenciace je ekvivalentní integraci“, což v reálné analýze neplatí.

Nechť je otevřená podmnožina komplexní roviny a předpokládejme, že uzavřený disk je definován jako

: D = \bigl\{z:|z - z_0| \leq r\bigr\}

a je obsažen v . Nechť je holomorfní funkce a nechť je kružnice orientovaná proti směru hodinových ručiček, která tvoří hranici . +more Pak pro každé ve vnitřku.

: f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\, dz.

Důkaz tohoto tvrzení používá Cauchyovu-Goursatovu větu a jako tato věta vyžaduje pouze, aby byla komplexně diferencovatelná. Protože převrácená hodnota jmenovatele integrandu Cauchyho vzorce může být rozepsána jako mocninná řada v proměnné - konkrétně když , tak

: \frac{1}{z-a} = \frac{1+\frac{a}{z}+\left(\frac{a}{z}\right)^2+\cdots}{z}

- z toho vyplývá, že holomorfní funkce jsou analytické, tj. mohou být psány jako konvergentní mocninné řady. Takže je nekonečně diferencovatelná a

: f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}\, dz.

Tento vzorec je někdy označován jako Cauchyův diferenciační vzorec.

Výše uvedená věta může být zobecněna. Kruh může být nahrazen jakoukoli uzavřenou rektifikovatelnou křivkou v , která jednou obtáčí bod . +more Navíc stačí požadovat, aby byla holomorfní v otevřené oblasti ohraničené cestou a spojitá na jejím uzávěru.

Ne každá spojitá funkce na hranici ovšem může být použita k vytvoření holomorfní funkce uvnitř této hranice, která odpovídá dané hraniční funkci.

Reference

Kategorie:Komplexní analýza Kategorie:Augustin Louis Cauchy