Hranice množiny

Technology

12 hours ago

Author

Množina (světle modře) a její hranice (tmavě modře) Hranice množiny je v matematice pojem z topologie značící množinu všech takových prvků, jehož každé okolí obsahuje alespoň jeden bod zadané množiny a alespoň jeden bod mimo zadanou množinu. Značí se ∂M. Podobný význam má hranice metrického prostoru a hranice variety s hranicí.

Formální definice v topologii

Existují tři ekvivalentní definice hranice množiny (X je univerzum): * Hranice množiny ∂M je uzávěr množiny M bez vnitřku množiny M: ∂M = M \ M°. * Hranice množiny ∂M je průnik uzávěru M s uzávěrem jejího doplňku: ∂M = M ∩ (X \ M). +more * Hranice množiny ∂M je množina všech bodů b univerza X takových, že každé okolí b obsahuje alespoň jeden bod patřící do M a alespoň jeden bod patřící do X \ M.

Příklady

Hranicí libovolného prostorového útvaru je jeho povrch. Například hranicí koule je sféra. +more * Hranicí libovolného rovinného útvaru je patřičná křivka. Například hranicí kruhu je kružnice.

Mějme množinu reálných čísel R s běžnou topologií založenou na otevřených intervalech. Pak: * \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}\,\. +more * \partial\emptyset=\emptyset * \partial\Q=\R * \partial\Q\cap [0,1]=[0,1].

Poslední dva příklady ukazují, že hranice husté množiny s prázdným vnitřkem je jejím uzávěrem.

* V množině racionálních čísel s topologií otevřených intervalů, hranice množiny \Q\cap (-\infty, a), kde a je iracionální, je prázdná množina.