Ekvivalence (logika)

Název ekvivalence je v logice používán pro binární logický operátor značený symbolem ⇔ ( \Leftrightarrow \,\! ).

Významově odpovídá tento operátor větné konstrukci „právě tehdy, když“ (zastarale „tehdy a pouze tehdy, když“ a „tehdy a jen tehdy, když“) (anglicky if and only if, zkráceně iff) - ekvivalence tedy říká, že spojovaná tvrzení platí pouze zároveň (obě ano, nebo obě ne). Tomu odpovídá i pravdivostní tabulka této operace.

Pravdivostní tabulka

Vlastnosti a použití

Ekvivalence je používána v logických výpočtech podobným způsobem, jako relace = v aritmetických výpočtech - takový výpočet je obvykle posloupnost ekvivalencí, jako v následujícím případě:

(a \vee \neg b) \land (a \vee b) \Leftrightarrow a \vee (\neg b \land b) \Leftrightarrow a \vee 0 \Leftrightarrow a \,\!

Pravdivostní hodnota ekvivalence je shodná s pravdivostní hodnotou oboustranné implikace, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku: * a \Leftrightarrow b \,\. +more * (a \implies b) \land (b \implies a) \,\. .

V dvouhodnotové extenzionální logice je pravdivostní hodnota ekvivalence inverzní k pravdivostní hodnotě exkluzivní disjunkce, tj. následující dvě formule mají stejnou pravdivostní tabulku: * a \Leftrightarrow b \,\. +more * \neg ((a \land \neg b) \vee (\neg a \land b)) \,\.

Pomůcka k pochopení funkce ekvivalence v matematice

Oba členy ekvivalence představují totéž vyjádřené různými slovy. Jejich pravdivostní hodnoty nejsou tedy závislé na dočasnosti či smyslovém vnímání a hodí se proto k použití v matematice.

Např.:

"Máme dokázat že relace \Leftrightarrow \,\. je ekvivalencí na množině výroků M. +more Množinu M můžeme rozložit na třídy M1 (pravdivých výroků) a M2 (nepravdivých výroků). A \Leftrightarrow B značí: A i B patří do stejné třídy, tedy buď A, B jsou prvky M1 nebo A, B jsou prvky M2. Vztahem \Leftrightarrow \,\. je dán rozklad na množině M (na třídy M1, M2), a tedy vztah \Leftrightarrow \,\. je ekvivalence příslušná tomuto rozkladu. ".

Reference

Související články

Booleova algebra * Konjunkce * Disjunkce * Negace * Implikace * Existenční kvantifikátor * Ekvivalence (matematika)

Kategorie:Logika