Maxwellovy rovnice

James Clerk Maxwell Maxwellovy rovnice jsou základní zákony v makroskopické teorii elektromagnetického pole, které zformuloval James Clerk Maxwell v roce 1865. Lze je zapsat buď v integrálním nebo diferenciálním tvaru. V integrálním tvaru popisují elektromagnetické pole v jisté oblasti, kdežto v diferenciálním tvaru v určitém bodu této oblasti.

Formulace Maxwellových rovnic

Níže uvedený zápis je platný v jednotkách soustavy SI. Zápis v jiných soustavách se od tohoto zápisu liší vynásobením některých členů konstantami, jako např. +more rychlostí světla c a 4 \pi (Ludolfovo číslo) v soustavě CGS.

První Maxwellova rovnice (zákon celkového proudu, zobecněný Ampérův zákon)

Integrální tvar :\oint_{c} \boldsymbol{H}\cdot\, \mathrm{d}\boldsymbol{l}=I+\frac{\mathrm{d}\mathit{\Psi}}{\mathrm{d}t} \mathit{\Psi} \equiv \int_{S} \boldsymbol{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}

I = \int_{S} \boldsymbol{j}\cdot\, \mathrm{d}\boldsymbol{S}.

Cirkulace vektoru intenzity magnetického pole H po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna součtu celkového vodivého proudu I a posuvného proudu \frac{\mathrm{d}\mathit{\Psi}}{\mathrm{d}t} (\mathit{\Psi} je tok elektrického pole plochou S, spřažený křivkou c). Křivka c a libovolná plocha S, jež křivku obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

Diferenciální tvar :\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{j}+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity magnetického pole H je rovna hustotě vodivého proudu j a hustotě posuvného (Maxwellova) proudu \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}.

Druhá Maxwellova rovnice (zákon elektromagnetické indukce, Faradayův indukční zákon)

Integrální tvar :\oint_{c} \boldsymbol{E} \cdot\, \mathrm{d}\boldsymbol{l}=- \frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi}}{\mathrm{d}t}, :\mathit{\Phi} \equiv \int_{S} \boldsymbol{B} \cdot\, \mathrm{d}\boldsymbol{S}.

Cirkulace vektoru E po libovolně orientované uzavřené křivce c je rovna záporně vzaté časové derivaci magnetického indukčního toku spřaženého křivkou c. Křivka c a libovolná plocha S, jíž křivka obepíná, jsou vzájemně orientovány pravotočivě.

Diferenciální tvar :\nabla\times \boldsymbol{E}=- \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}.

Rotace vektoru intenzity elektrického pole E je rovna záporně vzaté derivaci magnetické indukce B.

Třetí Maxwellova rovnice (Gaussův zákon elektrostatiky)

Integrální tvar

:\oint_{S} \boldsymbol{D}\cdot\, \mathrm{d}\boldsymbol{S}=Q,

:Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.

Elektrický indukční tok libovolnou vně orientovanou plochou S je roven celkovému volnému náboji v prostorové oblasti V ohraničené plochou S.

Diferenciální tvar :\nabla\cdot \boldsymbol{D}= \rho. Divergence vektoru elektrické indukce D je rovna objemové hustotě volného náboje ρ. +more Ekvivalentní formulace: siločáry elektrické indukce začínají nebo končí tam, kde je přítomen elektrický náboj.

Čtvrtá Maxwellova rovnice (zákon spojitosti indukčního toku)

;Integrální tvar :\oint_{S} \boldsymbol{B}\cdot \, \mathrm{d}\boldsymbol{S}=0. Magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou orientovanou plochou S je roven nule.

Diferenciální tvar :\nabla\cdot \boldsymbol{B}=0. Divergence vektoru magnetické indukce \boldsymbol{B} je rovna nule.

Ekvivalentní formulace: Neexistují magnetické monopóly. (hypotetická elementární částice která nese magnetický náboj)

----

Fyzikální proměnné použité v Maxwellových rovnicích shrnuje následující tabulka

Alternativní řazení a seskupování

Zde použité seřazení (očíslování) oněch 4 rovnic není zcela ustálené a různí autoři se v tomto mohou lišit.

Jedním z nejpoužívanějších alternativních řazení je postavení Gaussova zákona elektrostatiky a zákona spojitosti indukčního toku na 1. a 2. +more místo (jakožto ty jednodušší rovnice) a až po nich psát složitější Faradayův a nakonec Ampérův zákon.

Toto seskupování do dvojic (první a druhá "série" Maxwellových rovnic) má své důvody. V jednom přístupu se sdružují rovnice se zdroji polí (představovanými hustotami náboje a proudu) a rovnice bez zdrojů, které mohou být chápány jako počáteční podmínky pro danou úlohu řešení elektromagnetického pole. +more Alternativní seskupování je založeno na tom, že se v případě stacionárního pole z jedné dvojice (série) stanou rovnice pro elektrické a z druhé pak rovnice pro magnetické pole.

Materiálové vztahy pro materiály s lineární závislostí

Pro širokou třídu materiálů lze předpokládat, že elektrická polarizace P (C/m2) a magnetizace M (A/m) jsou vyjádřeny jako:

: \boldsymbol{P} = \chi_e \varepsilon_0 \boldsymbol{E}

: \boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}

a že pole D a B jsou s E a H provázány vztahy:

:\boldsymbol{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \boldsymbol{E} \ \ = \ \ \varepsilon \boldsymbol{E}

:\boldsymbol{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \boldsymbol{H} + \boldsymbol{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \boldsymbol{H} \ \ = \ \ \mu \boldsymbol{H},

kde:

\chi_e je elektrická susceptibilita materiálu,

\chi_m je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je permeabilita materiálu

V nedisperzním izotropním médiu jsou ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellovy rovnice přejdou na tvar:

:\varepsilon \cdot \mathbf{div}\boldsymbol{E} = \rho

:\mu \cdot \mathbf{div} \boldsymbol{H} = 0

:\mathbf{rot} \boldsymbol{E} = - \mu \frac{\partial \boldsymbol{H}} {\partial t}

:\mathbf{rot} \boldsymbol{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}} {\partial t}

V homogenním médiu jsou ε a μ konstanty nezávislé na poloze a lze tedy jejich polohu zaměnit s parciálními derivacemi podle souřadnic.

Obecně mohou být ε a μ tenzory druhého řádu, které potom odpovídají popisu dvojlomných (anizotropních) materiálů. Nehledě na tato přiblížení však každý reálný materiál vykazuje jistou materiálovou disperzi, díky níž ε nebo μ závisí na frekvenci.

Pro většinu typů vodičů platí mezi proudem a elektrickou intenzitou Ohmův zákon ve tvaru

:\boldsymbol{j} = \sigma \boldsymbol{E},

kde σ je měrná vodivost daného materiálu.

Maxwellovy rovnice jako vlnové rovnice potenciálů

Ekvivalentně (a mnohdy s výhodou) lze vyjádřit Maxwellovy rovnice pomocí skalárního a vektorového potenciálu \varphi a \boldsymbol{A}, které jsou definovány tak, aby platilo

:\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}\,

:\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\,.

\boldsymbol{E} a \boldsymbol{B} se přitom nezmění, pokud k potenciálu \varphi přičteme libovolnou konstantu, nebo k \boldsymbol{A} gradient libovolného skalárního pole. Proto pro jednoduchost výsledných rovnic můžeme navíc zvolit tzv. +more Lorenzovu kalibrační podmínku.

:\nabla\cdot\boldsymbol{A}+\varepsilon\mu\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0\,.

Maxwellovy rovnice potom mají tvar vlnových rovnic

:\square \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\,

:\square \boldsymbol{A} = -\mu\,\boldsymbol{j}\,

kde \square je d'Alembertův operátor.

Ve speciální teorii relativity tvoří elektrický a magnetický potenciál dohromady čtyřvektor zvaný čtyřpotenciál A^\nu. Také d'Alembertův operátor lze zobecnit na čtyřvektory. +more V tomto formalismu (a s předpokladem Lorenzovy podmínky) lze pak všechny Maxwellovy rovnice napsat jako jedinou nehomogenní vlnovou rovnici :\square A^\nu=-{\mu J^\nu}\,. kde J^\nu je elektrický čtyřproud a \mu je permeabilita. Ve vakuu je navíc čtyřproud nulový, takže rovnice se stane homogenní a její řešení odpovídá šíření elektromagnetických vln.

Reference

Externí odkazy

Jaroslav Pospíšil: [url=http://www. opto. +morecz/book/book. phtml. book=pospisilii&page=t091]Kmity a vlnění II část 2. 3. 2 Maxwellovy rovnice elektromagnetického vlnění[/url] na webu opto. cz * Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození, BEN - technická literatura, Praha 2003, .

Kategorie:Elektromagnetismus