Vlnová rovnice

Technology

12 hours ago

Author

Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí. Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.

Vlnová rovnice obecně

Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru: :\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2} + ... + \frac{\partial^2 z}{\partial x_n^2}

nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru: :\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = \Delta z kde z představuje skalární funkci polohy a času.

V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření: :\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = \Delta z + f(x_1,x_2,...,x_n).

Vlnová rovnice v elektromagnetismu

Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase t po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce l: +morepng|náhled'>Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem. :\frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}}i\left( t,x \right) - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{{\partial t}^{2}\ }i\left( t,x \right) - B\frac{\partial}{\partial t}i\left( t,x \right) - A\ i\left( t,x \right) = 0.

:\frac{\partial^{2}}{{\partial x}^{2}}u\left( t,x \right) - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{{\partial t}^{2}\ }u\left( t,x \right) - B\frac{\partial}{\partial t}u\left( t,x \right) - A\ u\left( t,x \right) = 0

:c^{2} = \frac{1}{\text{LC}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,B = \left( RC + LG \right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,A = RG

řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. +more druhu: : \, \, \, \, \, \, \,i\left(0,x \right) \equiv \psi_{i}\left(x \right) \, \, \, \, resp. i\left(t,0 \right) \equiv \mu_{i}\left(t \right).

:\frac{\partial}{\partial t}i\left(0,x \right) \equiv \dot{\psi_{i}}\left(x \right) \, \, \, \, \, resp. i\left(t,l \right) \equiv \nu_{i}\left(t \right)

: \, \, \, \, \, \, \,u\left(0,x \right) \equiv \psi_{u}\left(x \right) \, \, \, resp. u\left(t,0 \right) \equiv \mu_{u}\left(t \right)

:\frac{\partial}{\partial t}u\left(0,x \right) \equiv \dot {\psi_{u}}\left(x \right) \, \, \, resp. u\left(t,l \right) \equiv \nu_{u}\left(t \right)

mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky \mu resp. \nu:

:\mathbf{I}\left(x \right) = \mathbf{I}\left(0 \right)\cosh{\mathbf{p}x} - \mathbf{Y}_{0}\mathbf{U}\left(0 \right)\sinh{\mathbf{p}x} = \psi_{i}\left(x \right)

:\mathbf{U}\left(x \right) = \mathbf{U}\left(0 \right)\cosh{\mathbf{p}x} - \mathbf{Z}_{0}\mathbf{I}\left(0 \right)\sinh{\mathbf{p}x} = \psi_{u}\left(x \right)

resp.

:\mathbf{I}\left(x \right) = \mathbf{I}\left(l \right)\cosh{\mathbf{p}(x-l)} - \mathbf{Y}_{0}\mathbf{U}\left(l \right)\sinh{\mathbf{p}(x-l)} = \psi_{i}\left(x \right)

:\mathbf{U}\left(x \right) = \mathbf{U}\left(l \right)\cosh{\mathbf{p}(x-l)} - \mathbf{Z}_{0}\mathbf{I}\left(l \right)\sinh{\mathbf{p}(x-l)} = \psi_{u}\left(x \right)

kde:

:\mathbf{p}^{2} = \left( R + j\omega L \right)\left( G + j\omega C \right) = \mathbf{Z}\ \mathbf{Y} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\mathbf{Z}_{0} \equiv \sqrt{\frac{\mathbf{Z}}{\mathbf{Y}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\mathbf{Y}_{0} \equiv \sqrt{\frac{\mathbf{Y}}{\mathbf{Z}}} a R,L,G,C jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a \omega je úhlová frekvence sítě.