Hamiltonův operátor

Hamiltonův operátor neboli hamiltonián (tímto pojmem se také označuje původní Hamiltonova funkce v klasické mechanice) je operátor energie v kvantové mechanice, který ve většině případů odpovídá celkové energii soustavy. Je pojmenován po siru W. R. Hamiltonovi a značí se \hat H. Matematicky jde o hermitovský, většinou diferenciální, operátor na Hilbertovu prostoru komplexních vlnových funkcí. Jeho význam je dán spojitostí s popisem časového vývoje v kvantové mechanice, viz Schrödingerova rovnice. Dále pak tím, že možné hodnoty energie, kterých může nabýt systém popsaný hamiltoniánem \hat H, patří do jeho spektra.

Odvození klasického tvaru

Pro bodovou částici je její celková mechanická energie součtem kinetické a potenciální energie. Operátor kinetické energie získáme dosazením operátoru hybnosti (\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla) do klasického vztahu T = \frac12 m\mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}. +more Hamiltonián pak můžeme zapisovat výhodně ve tvaru :\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V\, kde m je hmotnost částice, \Delta je Laplaceův operátor (součet druhých parciálních derivací podle kartézských souřadnic, \Delta=\nabla^2=\left(\dfrac{\partial^2}{\partial x ^2},\dfrac{\partial^2}{\partial y^2},\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\right)) a V=V({\mathbf r},t) je potenciální energie silového pole, v němž se částice pohybuje. Hamiltonián v této podobě je klíčovou součástí Schrödingerovy rovnice. Ta popisuje vývoj vlnové funkce v čase, který interpretujeme jako pohyb částice, jde tedy o kvantovou rovnici pohybu.

Spektrum

Spektrum Hamiltoniánu vyjadřuje možné hodnoty energie částice. Například pro elektron v elektrickém poli protonu známe průběh potenciální energie z Coulombova zákona. +more Hamiltonián má tedy tvar :\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \, kde m_e je hmotnost elektronu, e je elektrický náboj elektronu, \pi je Ludolfovo číslo, \varepsilon_0 je permitivita vakua a r je vzdálenost od protonu. Spektrum tohoto operátoru dává možné energie :E_n = - \frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2a_B}\frac1{n^2}\, kde a_B je tzv. Bohrův poloměr (0,53×10−10 m) a n je kvantové číslo. Rozdíly mezi těmito hladinami přesně odpovídají pozorovanému absorpčnímu spektru nejjednoduššího prvku v přírodě - vodíku. Záporné znaménko energie odpovídá vázanému stavu - na ionizaci atomu vodíku v základním stavu je třeba dodat kladnou energii E1=2,179×10−18 J.

Relativistická verze

Schrödingerova rovnice s výše uvedeným výrazem pro Hamiltonián není invariantní vůči Lorentzově transformaci, takže je nesprávná z hlediska teorie relativity. V relativistické mechanice je výraz pro energii složitější, takže musí být modifikován i Hamiltonián. +more Jeden z možných přístupů k tomuto zpřesnění lze nalézt v hesle Diracova rovnice, kde je i relativisticky opravený výraz pro Hamiltonián. : \hat H = \,\gamma_0 m + \sum_{j = 1}^3 \gamma_j p_j \, kde p_j jsou souřadnice vektoru hybnosti a \gamma_i jsou vhodně zvolené matice. V Diracově (standardní) reprezentaci jsou to matice :\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}\, :\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & {\sigma}_{i}\\-{\sigma}_{i}&0\end{pmatrix}\,. {\sigma}_{i} jsou přitom Pauliho matice a I značí jednotkovou matici 2×2.

Komutování s jinými operátory

Vodíkový hamiltonián (nebo hamiltonián vodíku podobného atomu, tzn. s jedním elektronem) uvedený výše komutuje s operátory kvadrátu momentu hybnosti L2 a každou jeho složkou. +more Jednotlivé složky momentu hybnosti ale nekomutují mezi sebou, proto je řešení atomů určeno třemi kvantovými čísly.

Víceelektronové atomy mají hamiltonián skládající se z několika jednoelektronových a dále pak z členů odpovídající vzájemné coulombické interakci mezi jednotlivými elektrony. Např. +more Lithium má hamiltonián.

\hat H = \left (-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_1 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_1} \right ) + \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_2 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_2} \right ) + \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta_3 - \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_3} \right ) + :+ \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{12}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{13}} + \frac1{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{23}}

S tímto hamiltoniánem komutují operátory orbitálního momentu hybnosti L=L1+L2+L3 (což plyne z vyjádření \hat{\overrightarrow L} = \hat{\overrightarrow r} \times \hat{\overrightarrow p} a z toho, že \overrightarrow r \times \overrightarrow n = \overrightarrow 0) i Lz=Lz1+Lz2+Lz3, opět máme tedy tři kvantová čísla.

Dále Hamiltonián často komutuje s operátory spinů nebo prohození částic.

Související články

Hamiltonova funkce

Kategorie:Kvantová fyzika