Pauliho matice

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar: : \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}

: \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}

: \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}

Nesou jméno Wolfganga Pauliho.

Algebraické vlastnosti

: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I kde I označuje jednotkovou matici.

* Determinanty a stopy Pauliho matic jsou:

:\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{ pro }\ i = 1, 2, 3 \end{matrix}

Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σi jsou ±1.

* Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ0, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově-Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných hermitovských matic, \mathcal{H}_2(\mathbb{C}), případně Hilbertově prostoru komplexních matic, \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C}).

Komutační relace

Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:

:\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix} kde \varepsilon_{ijk} je Levi-Civitův symbol, \delta_{ij} je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.

Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru: :\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,.

Např. :\begin{matrix} \sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\ \sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\ \sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\ \sigma_1\sigma_1 &=& \sigma_2\sigma_2 &=& \sigma_3\sigma_3 &=&I. +more\\ \end{matrix}.

Další relace

Např. :\begin{matrix} \sigma_1\sigma_1^T &=& \sigma_1^T\sigma_1 &=& I,\\ \sigma_2\sigma_2^T &=& \sigma_2^T\sigma_2 &=& -I,\\ \sigma_3\sigma_3^T &=& \sigma_3^T\sigma_3 &=& I,\\ \end{matrix} kde index T značí transponování matice.

Fyzika

V kvantové mechanice představuje každá Pauliho matice pozorovatelnou popisující orientaci spinu částice se spinem ½ v třírozměrném prostoru. Matice \mathrm{i} \sigma_j představují generátory rotací pro nerelativistické částice se spinem ½. +more Kvantový stav částice je představován dvoukomponentovým spinorem. Částice se spinem ½ mají tu vlastnost, že musí být otočeny o úhel 4\pi, aby se vrátily do svého původního stavu.

* Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako \mathbf{J} =\frac\hbar2\boldsymbol{\sigma}. Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. +more Spinové matice pro spin 1 a \frac{3}{2} mají tvar: j=1: : J_x = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}.

: J_y = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&-i&0\\ i&0&-i\\ 0&i&0 \end{pmatrix}

: J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}

j=\frac{3}{2}: : J_x = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&\sqrt{3}&0&0\\ \sqrt{3}&0&2&0\\ 0&2&0&\sqrt{3}\\ 0&0&\sqrt{3}&0 \end{pmatrix}

: J_y = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{3}&0&0\\ i\sqrt{3}&0&-2i&0\\ 0&2i&0&-i\sqrt{3}\\ 0&0&i\sqrt{3}&0 \end{pmatrix}

: J_z = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 3&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}