Poincarého grupa

Poincarého grupa, pojmenovaná po Henri Poincarém a poprvé definovaná Hermannem Minkowskim, je grupa izometrií Minkowského prostoru. Jedná se o deseti-generátorové neabelovské Lieovy grupy se zásadním významem ve fyzice.

Přehled

Izometrie Minkowského prostoročasu má tu vlastnost, že interval mezi dvěma událostmi bývá neměnný. Například, je-li vše odloženo o dvě hodiny, včetně dvou událostí a cesty mezi nimi, pak časový interval mezi událostmi bude stejný. +more Nebo, pokud se vše posune o 5 kilometrů na západ nebo o 60 stupňů doprava, neměli bychom také pozorovat žádnou změnu v intervalu. Ukazuje se, že vlastní délka objektu je také neovlivněna tímto posunem. Časové nebo prostorové obrácení je také izometrií této grupy.

Pokud ignorujeme účinky gravitace, existuje v Minkowského prostoročasu deset stupňů volnosti z izometrií, které mohou být uvažovány jako translace v čase nebo prostoru (čtyři stupně, jeden na rozměr), zrcadlení přes rovinu (tři stupně, volnost orientace v této rovině) nebo Lorentzova transformace v jakékoli prostorové dimenzi (tři stupně). Složení transformací je operátorem Poincarého grupy.

V klasické fyzice je Galileova grupa srovnatelná grupa deseti parametrů, která působí na absolutní čas a prostor.

Detaily

Poincarého grupa je grupou izometrií Minkowského prostoročasu. Jedná se o deseti rozměrnou nekompaktní Lieovu grupu. +more Abelova grupa translací je normální podgrupa, zatímco Lorentzova grupa je také podgrupa, stabilizátor bodu. Poincarého grupa sama je minimální podgrupa afinní grupy, která zahrnuje všechny translace a Lorentzovy transformace. Přesněji jde o polopřímý součin translací a Lorentzovy grupy.

:\mathbf{R}^{1,3} \rtimes \mathrm{SO}(1,3) \,.

Další způsob jak toto ukázat je, že Poincarého grupa je rozšíření Lorentzovy grupy vektorem reprezentujícím ji. To je někdy nazýváno jako nehomogenní Lorentzova grupa. +more Může být ovšem také získána jako kontrakce de Sitterovy grupy SO(4,1) ~ Sp(2,2), pro de Sitterův poloměr jdoucí do nekonečna.

Její nezáporná energie unitární neredukovatelné reprezentace je indexována hmotností (nezáporné číslo) a spinem (celočíselná nebo poločíselná hodnota) a je spojena s vlastnostmi částic v kvantové mechanice.

V souladu s Erlangenským programem je geometrie Minkowského prostoru definována jako homogenní prostor Poincarého grupy.

Poincarého algebra je Lieova algebra Poincarého grupy. Jedná se o rozšíření Lieovy algebry Lorentzovy grupy. +more Přesněji řečeno, vlastní (\det \Lambda=1), (\Lambda^0_0\ge1) část Lorentzovy grupy zachovávající směr času (její komponent identity), SO+(1, 3), je spojen s identitou a tedy umožňuje umocňování Lieovy algebry. V komponentní formě je Poincarého algebra dána komutačními vztahy:.

: ~[P_\mu, P_\nu] = 0\, : ~\frac{ 1 }{ i }~[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\, : ~\frac{ 1 }{ i }~[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,

kde je generátor translace, je generátor Lorentzovy transformace a je (+,−,−,−) Minkowského metrika.

Spodní komutační vztah je ("homogenní") Lorentzova grupa, skládající se z rotací, a boostu, . Při tomto způsobu zápisu se celá Poincarého algebra stává vyjádřitelnejší v nekovariantním, ale praktičtějším jazyce: : [J_m,P_n] = i \epsilon_{mnk} P_k ~, : [J_i,P_0] = 0 ~, : [K_i,P_k] = i \eta_{ik} P_0 ~, : [K_i,P_0] = -i P_i ~, : [J_m,J_n] = i \epsilon_{mnk} J_k ~, : [J_m,K_n] = i \epsilon_{mnk} K_k ~, : [K_m,K_n] = -i \epsilon_{mnk} J_k ~, kde dolní mez komutátoru ze dvou boostů je často označována jako Wignerova rotace. +more Je zde patrné výrazné zjednodušení , což umožňuje redukci Lorentzovy podalgebry su(2)⊕su(2) a efektivnější zacházení se s ní spojenými reprezentacemi.

Casimirovy invarianty této algebry jsou a kde je Pauliho-Lubanského pseudovektor. Tyto slouží jako označení reprezentace grupy.

Poincarého grupa je plně symetrická grupa jakékoli relativistické polní teorie. Výsledkem je, že všechny elementární částice spadají do reprezentace této grupy. +more Tyto jsou obvykle specifikovány jako čtverec čtyřhybnosti každé částice a vnitřní kvantová čísla , kde spinové kvantové číslo, je parita a je C symetrie, tedy kvantové číslo konjugace náboje. V praxi, nábojová symetrie a parita jsou porušovány v mnoha kvantových polních teoriích. Nicméně CPT symetrie je v kvantových polních teoriích neměnná.

Jako topologický prostor má grupa čtyři propojené složky: složku identity, složku časového obrácení, komponent prostorové inverze a složku obrácení času i prostoru.

Poincarého symetrie

Poincarého symetrie je úplnou symetrií speciální teorie relativity. Zahrnuje * Translaci (posunutí) v čase a prostoru (P), tvořící abelovskou Lieovu grupu translací prostoročasu * Rotaci v prostoru, tvořící neabelovskou Lieovu grupu trojrozměrných rotací (J) * Transformace spojující dvě jednotně se pohybující tělesa (K)

Poslední dvě symetrie J a K společně tvoří Lorentzovu grupu, polopřímý součin translační grupy a Lorentzova grupa pak produkuje Poincarého grupu. Objektům, které jsou neměnné v rámci této grupy se říká, že mají relativistickou invarianci.

Související články

Eukleidova grupa * Abelova grupa * Unitární grupa

Reference

Kategorie:Teorie Lieových grup Kategorie:Fyzika částic Kategorie:Relativistická fyzika Kategorie:Symetrie Kategorie:Kvantová teorie pole