Symetrická grupa

Symetrická grupa je termín z matematiky, z teorie grup. Jedná se o grupu permutací, jejímž nosičem je množina všech permutací množiny, neboli všechny bijekce této množiny na sebe samu a operací je skládání těchto zobrazení. Symetrická grupa n-prvkové množiny se značí S_n.

Vlastnosti

Symetrická grupa n-prvkové množiny S_n má n! (n faktoriál) prvků.

Podle Cayleyovy věty o reprezentaci je každá grupa G isomorfní podgrupě symetrické grupy na G.

Symetrická grupa S_n je nekomutativní pro n>2. Obsahuje normální podgrupu A_n všech sudých permutací, která je jednoduchá pro n\geq 5.

Počet konjugačních tříd S_n je Par(n), tj. počet možností, jak číslo n napsat jako součet přirozených čísel. +more Stejný je počet jejích ireducibilních reprezentací. Studium těchto reprezentací má souvislost s reprezentacemi obecné lineární grupy Gl(n,\Complex).

Symetrická grupa S_n nemá žádné vnější automorfismy s výjimkou n=6. Grupa S_6 má grupu vnějších automorfizmů Out(S_6)\simeq \Z_2.

Příklad

Symetrická grupa S_3 je isomorfní grupě symetrie rovnostranného trojúhelníka, kterou tvoří shodnosti zobrazující tento trojúhelník na sebe sama. Je to tedy zároveň dihedrální grupa D_3. +more Má 6 prvků (3 zrcadlení a 3 otočení) a je nekomutativní. Je to nekomutativní grupa s nejmenším možným počtem prvků, neisomorfní šestiprvkové grupy jsou komutativní.

Reference

Bruce Eli Sagan, The symmetric group, Springer, 2001

Kategorie:Teorie grup Kategorie:Konečné grupy