Cesko.wiki Reprezentace (grupa)
Author
Albert FloresReprezentace grupy G je (homo)morfismus G\to Aut(V), kde V je vektorový prostor a Aut(V) grupa invertibilních lineárních zobrazení V\to V s operací skládání. Za předpokladu volby báze prostoru V lze reprezentaci chápat jako homomorfizmus G do prostoru matic. Pokud je homomorfizmus dán, je prostor V označován jako reprezentace G.
Ekvivalentně se říká, že V je G-modul, neboli G má akci na V.
Pokud V je topologický vektorový prostor a G je topologická grupa, je požadováno, aby indukované zobrazení (akce) V \times G \to V bylo spojité.
Příklad
Nechť G=S_3 je grupa permutací tříprvkové množiny. Pak můžeme definovat reprezentaci G na \mathbb{R}^2 takto: identitě přiřadíme identické zobrazení na \mathbb{R}^2, cyklu (123) přiřadíme otočení o 120 ^\circ, cyklu (132) otočení o 240^\circ, transpozici (12) zrcadlení kolem osy y, transpozici (13) zrcadlení kolem osy se směrem \langle -\sqrt{3}/2, 1/2\rangle a transpozici (23) zrcadlení kolem osy se směrem \langle \sqrt{3}/2, 1/2\rangle. +more Tato reprezentace ilustruje fakt, že S_3 je grupa izometrií rovnostranného trojúhelníka v rovině (prvky abstraktní grupy S_3 jsou reprezentovány jako izometrie roviny, které zachovávají trojúhelník).
Jiná reprezentace G, tzv. triviální, je reprezentace G na \mathbb{R}, kdy každému prvku G přiřadíme identické zobrazení \mathbb{R} na sebe.
Další reprezentace této grupy je tzv. znaménková reprezentace, což je reprezentace na \mathbb{R} přiřazující každému prvku permutační grupy jeho znaménko. +more Je známo, že jiné ireducibilní reprezentace, než tyto tři uvedené, neexistují.
Využití
Motivace pro studium reprezentací pochází z kvantové fyziky, která popisuje objekty pomocí vektorů. Obvykle se v teoriích vyskytuje grupa G, která je grupou symetrie dané teorie nebo daného problému. +more Nejčastěji to bývají Lieovy grupy, jako např. grupa rotací prostoru, grupa Lorentzových transformací, Poincarého grupa nebo grupa U(1) (v elektromagnetizmu), SU(2), SU(3) (v teoriích slabých a silných interakcí), resp. U(1)\times SU(2)\times SU(3) (v různých teoriích sjednocení) apod. Objekty teorie (částice apod. ) jsou pak prvky (nějaké) reprezentace dané grupy symetrie. Ve fyzice se navíc obvykle předpokládá, že reprezentace je unitární, t. j. na prostoru je dán skalární součin, který je invariantní vůči akci grupy. Klasifikace unitarizovatelných reprezentací klasických grup není zatím obecně známa (pro výše uvedené grupy ale ano).
Reprezentace Lieových grup mají aplikace v geometrii a studium reprezentací grup v prostorech kladné charakteristiky má aplikace v teorii čísel. Teorie reprezentací souvisí a v jistém smyslu její některé partie jsou i zobecněním klasické harmonické analýzy studující funkce prostřednictvím Fourierovy transformace.