Cesko.wiki Podgrupa
Author
Albert FloresV matematice se pojmem podgrupa grupy G = (G,*) označuje grupa H = (H, *H), je-li H podmnožinou G a *H je podmnožinou operace *.
V následujícím textu se místo zápisu a*b používá zkrácené ab.
Základní vlastnosti podgrup
Podgrupa je grupa * H je podgrupa grupy G, právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud a, b ∈ H, pak ab ∈ H) a na inverzi (tzn. jestliže a ∈ H, pak a−1 ∈ H) * Neutrální prvek v G se rovná neutrálnímu prvku v H * Inverzní prvek v G se rovná inverznímu prvku v H
Zvláštní případy podgrup
Každá grupa obsahuje dvě tzv. nevlastní podgrupy (též triviální podgrupy), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je vlastně zároveň triviální grupou). +more Ostatní podgrupy označujeme jako vlastní (nebo netriviální). * Je-li S podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy G obsahující S. Tato podgrupa se značí a jmenuje se podgrupa generovaná množinou S (v případě, že S je jednoprvková, píšeme podgrupu jako místo ). * Zvláště významné jsou normální podgrupy splňující \forall g \in G \quad g \cdot H \equiv \{g \cdot h, h \in H \} = \{h \cdot g, h \in H \} \equiv H \cdot g.