Cesko.wiki Unitární matice
Author
Albert FloresUnitární matice je čtvercová komplexní matice A, jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, tj. :A^{-1}=A^H,\qquad \text{a tedy}\qquad A^H A=AA^H=I,\qquad\text{kde}\qquad A^H=\bar{A}^T
a I je jednotková matice.
Unitární matice jsou příkladem normálních matic. Reálná unitární matice je ortogonální.
Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi.
Množina všech unitárních matic n\times n tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí U(n)
Dvojrozměrné matice
Libovolnou unitární 2 \times 2 matici U lze parametrizovat různým způsobem. Matici lze například vyjádřit jako součin tří matic a komplexního prefaktoru způsobem :U = e^{i \alpha} \begin{pmatrix} e^{-i \beta/2} & 0 \\ 0 & e^{i \beta/2} \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) & - \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) \\ \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) & \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} e^{-i \delta/2} & 0 \\ 0 & e^{i \delta/2} \end{pmatrix} = e^{i \alpha} \, \begin{pmatrix} \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) e^{-\frac{i}{2}(\beta + \delta)} & - \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) e^{\frac{i}{2}(-\beta + \delta)} \\ \sin \left(\frac{\gamma}{2}\right) e^{\frac{i}{2}(\beta - \delta)} & \cos \left(\frac{\gamma}{2}\right) e^{\frac{i}{2}(\beta + \delta)} \end{pmatrix}, kde \alpha, \beta, \gamma, \delta jsou reálná čísla.
Trojrozměrné matice
Libovolnou unitární 3 \times 3 matici U lze parametrizovat různým způsobem, viz např. . V takovéto parametrizaci lze obecnou unitární matici zapsat ve tvaru:
:U = e^{i \alpha} \left( \begin{array}{ccc} e^{i \varphi _1} \cos \left(\theta _1\right) \cos \left(\theta _2\right) & e^{i \varphi _3} \sin \left(\theta _1\right) & e^{i \varphi _4} \sin \left(\theta _2\right) \cos \left(\theta _1\right) \\ e^{i \left(-\varphi _4-\varphi _5\right)} \sin \left(\theta _2\right) \sin \left(\theta _3\right)-e^{i \left(\varphi _1+\varphi _2-\varphi _3\right)} \sin \left(\theta _1\right) \cos \left(\theta _2\right) \cos \left(\theta _3\right) & e^{i \varphi _2} \cos \left(\theta _1\right) \cos \left(\theta _3\right) & -e^{i \left(\varphi _2-\varphi _3+\varphi _4\right)} \sin \left(\theta _1\right) \sin \left(\theta _2\right) \cos \left(\theta _3\right)-e^{i \left(-\varphi _1-\varphi _5\right)} \sin \left(\theta _3\right) \cos \left(\theta _2\right) \\ -e^{i \left(-\varphi _2-\varphi _4\right)} \sin \left(\theta _2\right) \cos \left(\theta _3\right)-e^{i \left(\varphi _1-\varphi _3+\varphi _5\right)} \sin \left(\theta _1\right) \sin \left(\theta _3\right) \cos \left(\theta _2\right) & e^{i \varphi _5} \sin \left(\theta _3\right) \cos \left(\theta _1\right) & e^{i \left(-\varphi _1-\varphi _2\right)} \cos \left(\theta _2\right) \cos \left(\theta _3\right)-e^{i \left(-\varphi _3+\varphi _4+\varphi _5\right)} \sin \left(\theta _1\right) \sin \left(\theta _2\right) \sin \left(\theta _3\right) \\ \end{array} \right),
kde 0 \le \theta_1, \theta_2, \theta_3 \le \pi/2 a 0 \le \alpha, \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \le 2 \pi. Pokud \alpha = 0 odpovídá výše uvedená parametrizace maticím z SU(3), které mají determinant roven jedné.