Inverzní matice

Matice v součinu jsou navzájem inverzní, protože jsou čtvercové a výsledkem součinu je jednotková matice.

V matematice je inverzní matice, reciproká matice nebo zkráceně inverze k dané regulární matici taková matice, která při součinu s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní matice k matici \boldsymbol{A} se značí \boldsymbol{A}^{-1}. +more Ne každá čtvercová matice má svou inverzi; invertibilní matice se nazývají regulární matice. Regulární matice reprezentují bijektivní lineární zobrazení a inverzní matice pak odpovídají inverzním zobrazením. Množina regulárních matic pevné velikosti tvoří obecnou lineární grupu s maticovým součinem jako grupovou operací. Inverzní matice je pak odpovídají inverzním prvkům v této grupě.

Inverzní matice se používají v lineární algebře mimo jiné při řešení soustav lineárních rovnic a v některých rozkladech matic.

Výpočet inverzní matice se nazývá invertování nebo též inverze matice a lze jej provést pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace nebo pomocí adjungované matice. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů aplikované matematiky.

Definice

Je-li \boldsymbol{A} \in R^{n \times n} regulární matice se prvky z okruhu s jednotkovým prvkem R (v praxi jde obvykle o těleso reálných čísel ), pak odpovídající inverzní maticí je matice \boldsymbol{A}^{-1} \in R^{n \times n}, pro kterou platí:

: \boldsymbol{AA}^{-1}= \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}= \mathbf{I}_n,

kde binární operací je maticový součin a symbol \mathbf{I} značí jednotkovou matici stejného řádu n jako má matice \boldsymbol{A}. Je-li R je komutativní okruh, těleso nebo i komutativní těleso, jsou obě podmínky ekvivalentní, to znamená, že pravá inverzní matice je zároveň levá inverzní a naopak.

Ukázka

Inverzní matice k reálné matici řádu 2

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}

je

: \boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{1}{2} \\ -3 & 1 \end{pmatrix},

protože platí:

: \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -\tfrac{1}{2} \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & -1+1 \\ 12-12 & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{I}_2

Inverzní matice k diagonální matici s prvky d_1, \ldots, d_n \neq 0 na diagonále se získá pomocí převrácených hodnot diagonálních prvků, protože:

: \operatorname{diag} \left( d_1, \ldots, d_n \right) \cdot \operatorname{diag} \left( d_1^{-1}, \ldots, d_n^{-1} \right) = \operatorname{diag} \left( 1, \ldots, 1 \right) = \mathbf{I_n}

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Množina regulárních matic pevného řádu nad okruhem R s jednotkovým prvkem a s maticovým součinem jako binární (ne nutně komutativní) operací tvoří grupu, nazývanou obecnou lineární grupu \operatorname{GL}_n(R). Jednotková matice je jejím neutrálním prvkem a inverzní matice odpovídají inverzním prvkům. +more Inverzní matice jednoznačně definovaná a je inverzní zleva i zprava. Jednotková matice je inverzní sama k sobě:.

: \mathbf{I}^{-1} = \mathbf{I}

Inverze k inverzní matici je opět původní matice:

: \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^{-1} = \boldsymbol{A}

Matice \boldsymbol{A} a \boldsymbol{A}^{-1} se proto nazývají navzájem inverzní. Součin dvou regulárních matic je opět regulární a inverze součinu je součinem příslušných inverzí, ale v opačném pořadí:

: (\boldsymbol{AB})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}

Pokud lze matici reprezentovat jako součin snadno invertovatelných matic, lze inverzní matici součinu několika matic určit pomocí obecného vzorce:

: (\boldsymbol{A}_1 \boldsymbol{A}_2\cdots\boldsymbol{A}_k)^{-1} = \boldsymbol{A}_k^{-1} \cdots \boldsymbol{A}_2^{-1} \boldsymbol{A}_1^{-1}

pro k \in \N . Vztah platí i pro inverzi mocniny matice:

: \left( \boldsymbol{A}^k \right)^{-1} = \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^k

Uvedená matice se obvykle značí \boldsymbol{A}^{-k}.

Vlastnosti matic nad tělesy

Pro inverzní matici s prvky z tělesa T platí navíc i následující vlastnosti:

* Pro inverzi násobku matice nenulovým skalárem c \in T platí: : ( c \boldsymbol{A} )^{-1} = c^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}

* Inverze transpozice matice se rovná transpozici inverzní matice: : \left( \boldsymbol{A}^\mathrm{T} \right)^{-1} = \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^\mathrm{T}

* Totéž platí pro hermitovskou transpozici komplexní matice: : \left( \boldsymbol{A}^\mathrm{H} \right)^{-1} = \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^\mathrm{H}

* Plná hodnost (neboli regularita) matice se při inverzi zachovává: : \operatorname{rank} \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) = \operatorname{rank} (\boldsymbol{A}) = n

* Pro determinant inverzní matice platí: : \operatorname{det} \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right) = (\det \boldsymbol{A})^{-1}

* Je \lambda vlastní číslo matice \boldsymbol{A} příslušné vlastnímu vektoru \boldsymbol{x}, pak \lambda^{-1} je vlastní číslo inverzní matice \boldsymbol{A}^{-1} a přísluší stejnému vlastnímu vektoru \boldsymbol{x} . Uvedený vztah lze geometricky interpretovat tak, že směr vektoru \boldsymbol{x} zůstává zachován při zobrazení odpovídajícímu matici \boldsymbol{A} i při jemu inverznímu zobrazení odpovídajícímu \boldsymbol{A}^{-1}.

Invarianty

Některé regulární matice si při inverzi zachovávají své další vlastnosti, například:

* horní a dolní trojúhelníkové matice a striktně horní a dolní trojúhelníkové matice, * pozitivně definitní a negativně definitní matice, * symetrické, persymetrické, bisymetrické a středově symetrické matice, * unimodulární a celočíselné unimodulární matice.

Výpočet

V následujících odstavcích se pro jednoduchost předpokládá, že prvky matice náleží komutativnímu tělesu, aby bylo vždy možné provést příslušné aritmetické operace.

Gaussova-Jordanova eliminace

Reprezentace rovnic

Hledaná inverzní matice \boldsymbol{A}^{-1} je řešením maticové rovnice \boldsymbol{AX} = \mathbf{I}:

: \begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & \ldots & x_{1n} \\ \vdots & ~ & \vdots \\ x_{n1} & \ldots & x_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & ~ & 0 \\ ~ & \ddots & ~ \\ 0 & ~ & 1 \end{pmatrix}

Výpočet j-tého sloupce \boldsymbol{x}_j inverzní matice odpovídá vyřešení soustavy lineárních rovnic \boldsymbol{Ax}_j = \boldsymbol{e}_j, kde na pravé straně je j-tý vektor \boldsymbol{e}_j přirozené báze. Inverzní matici lze pak sestavit ze sloupců \boldsymbol{x}_j = ( x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{nj} )^\mathrm{T} předpisem:

: \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{X} = \left( \boldsymbol{x}_1 ~|~ \boldsymbol{x}_2 ~|~ \ldots ~|~ \boldsymbol{x}_n \right)

Postup

Inverzní matici lze efektivně spočítat pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace. Hlavní myšlenkou postupu je řešit n soustav lineárních rovnic \boldsymbol{Ax}_j = \boldsymbol{e}_j současně. +more K tomuto účelu se nejprve matice koeficientů \boldsymbol{A} rozšíří o jednotkovou matici \mathbf{I} na blokovou matici:.

: (\, \boldsymbol{A} \,|\, \mathbf{I} \) = \left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n} \, & \, 1 & ~ & 0 \\ \vdots & ~ & \vdots \, & \, ~ & \ddots & ~ \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \, & \, 0 & ~ & 1 \end{array}\right)

Poté je matice \boldsymbol{A} převedena do horního trojúhelníkového tvaru pomocí elementárních řádkových úprav, přičemž jednotková matice \mathbf{I} je upravována též:

: (\, \boldsymbol{D} \,|\, \boldsymbol{B} \) = \left(\begin{array}{ccc|ccc} \, * \, & \ldots & \, * \, \, & \, \, * \, & \ldots & \, * \, \\ ~ & \ddots & \vdots \, & \, \vdots & ~ & \vdots \\ 0 & ~ & \, * \, \, & \, \, * \, & \ldots & \, * \, \end{array}\right)

V tomto okamžiku je možné rozhodnout, zda \boldsymbol{A} má inverzní matici. Matice \boldsymbol{A} je invertibilní, právě když matice \boldsymbol{D} neobsahuje nulu na hlavní diagonále. +more V takovém případě lze matici \boldsymbol{D} nejprve převést na diagonální tvar pomocí dalších elementárních řádkových úprav a poté ji vhodným škálováním řádků převést na jednotkovou matici. Výsledný tvar blokové matice je:.

: (\, \mathbf{I} \,|\, \boldsymbol{A}^{-1} \) =\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & ~ & 0 \, & \, x_{11} & \ldots & x_{1n} \\ ~ & \ddots & ~ \, & \, \vdots & ~ & \vdots \\ 0 & ~ & 1 \, & \, x_{n1} & \ldots & x_{nn} \end{array}\right),

kde na pravé straně je hledaná inverzní matice \boldsymbol{A}^{-1}.

Ukázky

Inverzní matice k reálné matici

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

lze získat následujícím provedením Gaussovy-Jordanovy eliminace:

: \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 \, & \, 1 & 0 \\ {\color{BrickRed} 2} & 3 \, & \, 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & {\color{OliveGreen} 2} \, & \, 1 & 0 \\ 0 & -1 \, & \, -2 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 \, & \, -3 & 2 \\ 0 & {\color{Blue} -1} \, & \, -2 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 \, & \, -3 & 2 \\ 0 & 1 \, & \, 2 & -1 \end{array}\right)

Nejprv je eliminována \color{BrickRed} 2 pod diagonálou, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku od druhého řádku. Potom je eliminována \color{OliveGreen} 2 nad diagonálou, což se provede přičtením dvojnásobku druhého řádku k prvnímu řádku. +more V posledním kroku je pak druhý diagonální prvek normalizován na jedničku, což znamená, že se druhý řádek se vynásobí \color{Blue} -1. Inverzní maticí k \boldsymbol{A} je:.

: \boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

Inverzní matice k reálné matici

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

lze získat následujícím provedením Gaussovy-Jordanovy eliminace: Nejprve jsou eliminovány dvě \color{BrickRed} 2 v prvním sloupci, což se provede odečtením dvojnásobku prvního řádku. Nyní je druhý prvek na diagonále roven 0, proto se druhý řádek se zamění za třetí, což vede na horní trojúhelníkovou matici:

: \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ {\color{BrickRed} 2} & 4 & 1 \, & \, 0 & 1 & 0 \\ {\color{BrickRed} 2} & 1 & 0 \, & \, 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, -2 & 1 & 0 \\ 0 & {\color{BrickRed} -3} & 0 \, & \, -2 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \, & \, -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, -2 & 1 & 0 \end{array}\right).

Získaná matice \boldsymbol{D} je regulární, stejně jako \boldsymbol{A}. Nyní zbývá eliminovat \color{OliveGreen} 2 nad diagonálou, což se provede přičtením dvou třetin druhého řádku k prvnímu, a druhý řádek vydělit \color{Blue} -3:

: \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & {\color{OliveGreen} 2} & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \, & \, -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, -2 & 1 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} {\color{Blue} 1} & 0 & 0 \, & \, -\tfrac13 & 0 & \tfrac23 \\ 0 & {\color{Blue} -3} & 0 \, & \, -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, -2 & 1 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 \, & \, -\tfrac13 & 0 & \tfrac23 \\ 0 & 1 & 0 \, & \, \tfrac23 & 0 & -\tfrac13 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, -2 & 1 & 0 \end{array}\right).

Inverzní matice k \boldsymbol{A} je:

: \boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & \tfrac23 \\ \tfrac23 & 0 & -\tfrac13 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -6 & 3 & 0 \end{pmatrix}

Korektnost

Fakt, že Gaussova-Jordanova eliminace poskytuje inverzní matici, lze dokázat následovně: Jsou-li elementární matice, se kterými matice \boldsymbol{A} se pomocí k elementárních úprav převede na jednotkovou matici označeny \boldsymbol{E}_1, \ldots, \boldsymbol{E}_k, pak platí:

: \mathbf{I} = \boldsymbol{E}_k \cdots \boldsymbol{E}_2 \boldsymbol{E}_1 \boldsymbol{A}

Nyní lze obě strany této rovnosti vynásobit zprava maticí \boldsymbol{A}^{-1}, což dává:

: \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{E}_k \cdots \boldsymbol{E}_2\boldsymbol{E}_1\mathbf{I}

Je-li matice \boldsymbol{A} převedena na jednotkovou matici vynásobením zleva několika elementárními maticemi, pak jednotková matice vynásobená stejnou posloupností elementárních matic dává inverzní matici \boldsymbol{A}^{-1}.

Numerické záležitosti

Pro zvýšení numerické přesnosti se při výpočtech na počítačích provádí obvykle pivotace prvků.

Výpočet inverze k matici řádu n Gaussovou-Jordanovou eliminací má časovou složitost O(n^3).

Adjungovaná matice

Pomocí determinantu \det\mathbf{A}matice a adjungované matice \mathop{\mathrm{adj}} \mathbf{A} (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce: \mathbf{A}^{-1} = \frac {1}{\det \mathbf{A}} \mathop{\mathrm{adj}}\mathbf{A}

Uvedený postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice \mathbf{A}^{-1} má v i-tém řádku a j-tém sloupci prvek \frac{(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}_{ji}}{\det\mathbf{A}}, kde \mathbf{A}_{ji} je submatice získaná z matice \mathbf{A} vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce.

Vztah vyplývá z Cramerova pravidla, pomocí nějž lze přímo zapsat řešení soustavy \boldsymbol{Ax}_j = \boldsymbol{e}_j:

: x_{ij} = \frac{\det \boldsymbol{A}_{i}}{\det \boldsymbol{A}},

kde matice \boldsymbol{A}_{i} vznikne nahrazením i-tého sloupce vektorem \boldsymbol{e}_j. Laplaceův rozvoj determinantu v čitateli podle i-tého sloupce vede ke vztahu:

: x_{ij} = \frac{(-1)^{i+j}\det \boldsymbol{A}_{ji}}{\det \boldsymbol{A}},

kde \boldsymbol{A}_{ij} značí podmatici matice \boldsymbol{A} vzniklou odstraněním i -tého řádku a j-tého sloupce (pozor na záměnu pořadí indexů i a j ). Subdeterminanty \det \boldsymbol{A}_{ij} jsou také nazývány minory určené maticí \boldsymbol{A}. +more Čísla.

: x_{ij}' = (-1)^{i+j} \det\boldsymbol{A}_{ij}

se nazývají kofaktory matice \boldsymbol{A} a dohromady tvoří kofaktorovou matici (\operatorname{cof} \boldsymbol{A})_{ij} = x_{ij}'. Transpozice kofaktorové matice se nazývá adjungovaná matice k matici \boldsymbol{A} a značí se \operatorname{adj}\boldsymbol{A}. +more Pomocí adjungované matice lze inverzní matici zapsat vztahem:.

: \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{\det\boldsymbol{A}}\operatorname{adj} \boldsymbol{A}

Uvedený vzorec platí i pro matice s prvky z komutativního okruhu s jednotkou za předpokladu, že \det \boldsymbol{A} je jednotkou v daném okruhu.

Vzorce pro matice řádů 2 a 3

Pro matice řádu 2 platí vzorec:

: \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det \boldsymbol{A}} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Pro matice řádu 3 lze odvodit vzorec:

: \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det\boldsymbol{A}} \begin{pmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{pmatrix},

kde \det \boldsymbol{A} lze vyjádřit např. pomocí Sarrusova pravidla. +more Uvedeným způsobem lze odvodit vzorce pro inverzi matic vyšších řádů. Jejich zápis i výpočet jsou však příliš složité, a proto se neužívají.

Ukázky

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 2 je:

: \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{4-6} \, \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

Inverzní matice k následující reálné matici řádu 3 je:

: \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{8-2-2} \, \begin{pmatrix} 4-1 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 4-0 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Výpočetní složitost

Za předpokladu, že výpočet determinantu matice řádu n vyžaduje \omega(n^2) aritmetických operací, a každý z n^2 prvků adjungované matice by byl počítán separátně, by uvedený výpočet inverze matice řádu n měl časovou složitost \omega(n^4).

Inverze blokové matice

Je-li dána bloková čtvercová matice \boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix} kde \boldsymbol{A} i Schurův doplněk \boldsymbol{M}/\boldsymbol{A} := \boldsymbol{D} - \boldsymbol{CA}^{-1}\boldsymbol{B} matice \boldsymbol{A} v \boldsymbol{M} jsou regulární matice, pak \boldsymbol{M} je také regulární matice a platí pro ni:

: \boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \boldsymbol{CA}^{-1} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{M}/\boldsymbol{A} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix}

Z uvedeného vztahu lze vyjádřit inverzní matici:

: \begin{align} \boldsymbol{M}^{-1} &= \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{M}/\boldsymbol{A} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0}\\ \boldsymbol{CA}^{-1} & \mathbf{I} \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} \mathbf{I} & -\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & (\boldsymbol{M}/\boldsymbol{A})^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ -\boldsymbol{CA}^{-1} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{CA}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{A})^{-1} \\ -(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{CA}^{-1} & (\boldsymbol{M}/\boldsymbol{A})^{-1} \end{pmatrix} \end{align}

Jsou-li naopak \boldsymbol{D} i Schurův doplněk \boldsymbol{M}/\boldsymbol{D} := \boldsymbol{A} - \boldsymbol{BD}^{-1}\boldsymbol{C} matice \boldsymbol{D} v \boldsymbol{M} regulární, pak platí:

: \boldsymbol{M} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \boldsymbol{BD}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{M}/\boldsymbol{D} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{C} & \mathbf{I} \end{pmatrix}

a pro inverzní matici:

: \begin{align} \boldsymbol{M}^{-1} &= \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{C} & \mathbf{I} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \boldsymbol{M}/\boldsymbol{D} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{D} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \boldsymbol{BD}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ -\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{C} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (\boldsymbol{M}/\boldsymbol{D})^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{D}^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & -\boldsymbol{BD}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (\boldsymbol{M}/\boldsymbol{D})^{-1} & -(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{D})^{-1}\boldsymbol{BD}^{-1} \\ -\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{C}(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{D})^{-1} & \boldsymbol{D}^{-1} + \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{C}(\boldsymbol{M}/\boldsymbol{D})^{-1}\boldsymbol{BD}^{-1} \end{pmatrix} \end{align}

Uvedené vzorce lze využít k paměťově efektivnímu výpočtu inverzí matic velkých rozměrů.

Charakteristický polynom

Inverzní matici lze vyjádřit i pomocí charakteristického polynomu. Je-li \boldsymbol{A}\in T^{n\times n} regulární čtvercová matice a \chi_\boldsymbol{A}(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + \dots + c_n t^n je její charakteristický polynom, pak platí:

: \boldsymbol{A}^{-1} = -\frac{1}{\det\boldsymbol{A}} \left(c_1 \mathbf{I}_n + c_2 \boldsymbol{A} + \dots + c_n \boldsymbol{A}^{n-1}\right)

Dosazení matice do polynomu je obdobou dosazení reálného čísla s tím rozdílem, že se používají maticové operace pro součet, násobek i mocninu. \mathbf{I}_n značí jednotkovou matici řádu n.

Vztah vyplývá z Cayleyho-Hamiltonovy věty, která tvrdí, že dosazení matice do svého charakteristického polynomu má vždy za výsledek nulovou matici:

: \chi_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}) = \mathbf{0} \,\, \Longleftrightarrow \,\, c_0 \mathbf{I}_n + \sum_{i=1}^n c_i \boldsymbol{A}^i = \mathbf{0} \,\, \Longleftrightarrow \,\, -c_0 \mathbf{I}_n = \boldsymbol{A}\cdot \sum_{i=1}^n c_i \boldsymbol{A}^{i-1} \,\, \Longleftrightarrow \,\, \boldsymbol{A}^{-1} = \displaystyle -\frac{1}{c_0} \sum_{i=1}^n c_i\boldsymbol{A}^{i-1}

Ukázka

Charakteristický polynom matice \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2&5\\ 1&1&3\\2&4&6 \end{pmatrix} řádu 3 je kubický polynom \chi_\boldsymbol{A}(t) = t^3 - 10t^2 + 3t + 8 .

Dosazení do vzorce dává:

: \begin{align} \boldsymbol{A}^{-1} &= -\frac{1}{c_0}\sum^{n}_{i=1} c_i\boldsymbol{A}^{i-1}\\\\ &= -\frac{1}{c_0}\left(c_1 \mathbf{I}_3 + c_2 \boldsymbol{A} + c_3 \boldsymbol{A}^2 \right) \\\\ &= -\frac{1}{8} \left(3 \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} - 10\cdot \begin{pmatrix}3 & 2 & 5\\1 & 1 & 3\\2 & 4 & 6\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}21 & 28 & 51 \\10 & 15 & 26 \\22 & 32 & 58\end{pmatrix} \right) \\\\ &= -\frac{1}{8} \begin{pmatrix} -6 & 8 & 1 \\ 0 & 8 &-4 \\ 2 &-8 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

Numerické záležitosti

Obecně se v numerické matematice soustavy lineárních rovnic tvaru \boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b} s regulární \boldsymbol{A} neřeší pomocí inverzní matice

: \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b},

ale pomocí speciálních metod pro soustavy lineárních rovnic (viz Numerická lineární algebra). Metoda výpočtu pomocí inverze je nejen mnohem složitější, ale i méně stabilní. +more Zejména pro velmi velké matice se pak používají aproximační metody. Možným přístupem je Neumannova řada, která aproximuje inverzní matici pomocí nekonečné řady.

: \boldsymbol{A}^{-1} = \sum_{k=0}^\infty (\mathbf{I} - \boldsymbol{A})^k

za předpokladu, že řada konverguje. Částečný součet řady poskytuje přibližnou hodnotu inverzní matice. +more Pro speciální matice, jako jsou pásmové matice nebo Toeplitzovy matice, existují i jiné účinné metody výpočtu inverze.

Použití

Řešení lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k řešení některých lineárních algebraických rovnic s maticemi.

Je-li matice \mathbf{A} regulární, pak řešení rovnice \mathbf{AX} = \mathbf{B} lze popsat přímo vztahem \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}.

Speciální matice

Pomocí inverzní matice lze charakterizovat následující třídy matic:

* U samoinverzních matic je inverze rovna původní matici: \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}, * u ortogonálních matic se inverze shoduje s transpozici: \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathrm{T}, * u unitárních matic se inverzní rovná hermitovské transpozici: \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathrm{H}.

Inverzi lze určit přímo např. pro diagonální matice, Frobeniovy matice, Hilbertovy matice a tridiagonální Toeplitzovy matice.

Matice inverzního zobrazení

Jsou-li dány V a W dva n-dimenzionální vektorové prostory nad tělesem T a bijektivní lineární zobrazení f \colon V \to W, pak jemu inverzní zobrazení f^{-1} \colon W \to V je definováno vztahem:

: f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = \operatorname{id},

kde \operatorname{id} představuje identické zobrazení. Pro matice zobrazení \boldsymbol{A}_f,\boldsymbol{A}_{f^{-1}} \in T^{n \times n} (vzhledem k pevně zvoleným bázím prostorů V a W) pak platí vztah:

: \boldsymbol{A}_{f^{-1}} = \boldsymbol{A}^{-1}_f

Matice inverzního zobrazení je inverzní k matici původního zobrazení.

Duální báze

Je V konečně-rozměrný vektorový prostor nad tělesem T, pak odpovídající duální prostor V^\ast je vektorový prostor lineárních funkcionálů V \to T . Je-li \{ v_1, \ldots, v_n \} báze prostoru V, pak odpovídající duální bázi \{ v^\ast_1, \ldots, v^\ast_n \} prostoru V^\ast lze charakterizovat pomocí Kroneckerova delta:

: v^\ast_i(v_j) = \delta_{ij},

kde i,j \in \{1,\dots,n\}. Jestliže \boldsymbol{A}_v = ( x_1 \mid \ldots \mid x_n) je matice složená z vektorů souřadnic vektorů \{ v_1, \ldots, v_n \}, pak odpovídající duální matice \boldsymbol{A}_{v^\ast} = (x^\ast_1 \mid \ldots \mid x^\ast_n)^\mathrm{T} splňuje:

: \boldsymbol{A}_{v^\ast} = \boldsymbol{A}_v^{-1}

Matice souřadnic vektorů duální báze je tedy inverzní maticí k matici souřadnic vektorů primární báze.

Jiné aplikace

Inverzní matice se také používají v lineární algebře, mimo jiné:

* Ve vztazích ekvivalence, například podobnost a ekvivalence matic, * pro normální formy matic, například Jordanovu normální formu nebo Frobeniovu normální formu, * v maticových rozkladech, například pro Singulární rozklad, * při výpočtu podmíněnosti matice regulárních matic.

Zobecnění

Pro singulární a obdélníkové matice lze sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Regulární matice * Determinant * Hodnost matice * Pseudoinverze, zobecnění inverzí k singulárním a nečtvercovým maticím * Diagonalizace, převod matice do diagonální formy pomocí podobnostní transformace

Externí odkazy

[url=http://www. umat. +morefeec. vutbr. cz/~novakm/linearni_algebra/]Lineární algebra: práce s maticemi[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/matreg. php]Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)[/url] Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8 * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/linrov. php]Online výpočet soustav lineárních rovnic[/url] *.

Kategorie:Matice