Okruh (algebra)

Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy pologrupy. Navíc obě operace jsou svázány distributivitou - lze roznásobit součet. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení.

Definice okruhu

Strukturu R s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro všechny prvky R x, y, z následující axiomy:

# Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R. # Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z). +more # Existence nulového prvku 0 vzhledem ke sčítání. # Existence opačného prvku vzhledem ke sčítání: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x. # Komutativita sčítání: x + y = y + x. # (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), (y + z) · x = (y · x) + (z · x).

Vlastnosti

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy pologrupa.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo také okruh s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. +more dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů

Obor celých čísel \scriptstyle \mathbb{Z} * Lineární zobrazení na \scriptstyle \mathbb{R}^n s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splněn předpoklad distributivity skládání. +more * Polynomy s koeficienty v \scriptstyle \mathbb{Z}, \scriptstyle \mathbb{R} i \scriptstyle \mathbb{C}. * Triviální okruh R = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1. * Artinovský okruh. Každý artinovský okruh je zároveň noetherovským okruhem, ovšem opačně to neplatí.

Podokruh

Když S je neprázdná podmnožina R, pak v okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a+b i a·b.

Odkazy

Související články

Grupa * Těleso * Obor integrity

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20040927001600/http://www. kolej. mff. cuni. cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node21. html]Skripta Pěstujeme lineární algebru[/url] * [url=http://mathworld. wolfram. com/Ring. html]Okruh na MathWorld (en)[/url] * [url=http://mathworld. wolfram. com/Subring. html]Podokruh na MathWorld (en)[/url].

Kategorie:Algebraické struktury