Cesko.wiki Vlastní vektory a vlastní čísla
Author
Albert Florespodprostor vlastního prostoru tohoto vlastního čísla. Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulový vektor, jehož směr se uplatněním operátoru nemění; může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení nenulovým skalárem. Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu.
._Modrý_vektor_je_pak_vlastním_vektorem_transformace,_zatímco_červený_nikoliv._Protože_modrý_vektor_nezměnil_délku,_jeho_vlastní_číslo_je_1._Všechny_vektory_v_tomto_směru_jsou_vlastní_vektory_se_stejným_vlastním_číslem_a_tvoří_Vektorový_podprostor){kind=link}
Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod.
Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.
Definice a značení
Vlastní vektor lineárního operátoru A je takový nenulový vektor u, pro který existuje číslo \lambda tak, že platí: :\mathbf{A} \mathbf{u} =\lambda \mathbf{u}.
Číslo \lambda se nazývá vlastní číslo (též charakteristické číslo) operátoru \mathbf{A} a \mathbf{u} vlastní vektor operátoru \mathbf{A} příslušný vlastní hodnotě \lambda.
V kvantové mechanice se často lze setkat se zápisem \hat A u = A u anebo \hat A\,|u\rangle = A\,|u\rangle kde \hat A označuje operátor a A příslušné vlastní číslo. Operátor \hat A je často diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů matice
Nechť \mathbf{A} je zadaná reálná nebo komplexní čtvercová matice n \times n, \mathbf{u} je sloupcový vektor délky n a \lambda je reálné nebo komplexní číslo. Rovnice \mathbf{A} \mathbf{u} =\lambda \mathbf{u}, jejíž levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici \mathbf{A} a neznámé veličiny \mathbf{u} a \lambda. +more Tato maticová rovnice se dá přepsat jako soustava lineárních rovnic :\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j = \lambda u_i pro i = 1, 2, \cdots, n.
Proměnnou \mathbf{u} na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjádřit jako :u_i = \sum_{j=1}^n u_j \delta_{ij}
Dosazením do předchozího vztahu pak dostaneme :\sum_{j=1}^n ( a_{ij} - \lambda \delta_{ij}) u_j = 0, což lze vyjádřit maticově jako :(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}, kde \mathbf{E} je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlížet jako na homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic o n neznámých. +more Ta má netriviální (nenulové) řešení právě tehdy, když je matice soustavy singulární, tzn. platí :\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = 0, což lze rozepsat : \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \end{vmatrix} = 0.
Tato rovnice se nazývá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako sekulární rovnice, protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).
Polynom na levé straně této rovnice se nazývá charakteristický polynom matice \mathbf{A} a jeho kořeny jsou vlastními čísly matice \mathbf{A}. Proto má matice \mathbf{A} vždy n vlastních čísel, z nichž se některá mohou opakovat. +more Počet opakování, tj. násobnost kořene charakteristického polynomu nazýváme algebraickou násobností vlastního čísla.
Vlastní vektory matice \mathbf{A} vyhovují rovnici (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0} pro jednotlivá vlastní čísla.
Libovolný nenulový násobek vlastního vektoru je rovněž vlastním vektorem, není však považován za jiný vlastní vektor. Ke kořenu charakteristického polynomu násobnosti m existuje nejvýše m vzájemně lineárně nezávislých vlastních vektorů. +more Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů odpovídajících vlastnímu číslu \lambda, tj. \mathrm{dim}(\mathcal{N}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{E})) se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla.
Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.
Příklad
Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice : \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
Charakteristická rovnice má tvar : \begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 2 & - \lambda \end{vmatrix} = 0 . Po jejím rozepsání (tedy jednoduše vyčíslíme determinant a položíme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici :\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0 \,
Řešením této rovnice získáme vlastní čísla :\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1 \,
Vlastní vektor \mathbf{u}_1 příslušný vlastní hodnotě \lambda_1 získáme řešením soustavy lineárních rovnic : \begin{pmatrix} 3 - \lambda_1 & -1 \\ 2 & - \lambda_1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & - 2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_1 = \mathbf{0}
Řešením této rovnice je např. vektor :\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
Vlastní vektor \mathbf{u}_2 příslušný vlastní hodnotě \lambda_2 získáme řešením soustavy lineárních rovnic : \begin{pmatrix} 3 - \lambda_2 & -1 \\ 2 & - \lambda_2 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \mathbf{u}_2 = \mathbf{0}
Řešením této rovnice je např. vektor :\mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
Vlastnosti
Nula je vlastním číslem matice \mathbf{A} právě tehdy, když je matice singulární. Je-li matice \mathbf{A} regulární, pak nula není jejím vlastním číslem. +more * Je-li matice \mathbf{A} symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná čísla), pak všechna její vlastní čísla jsou reálná. * Jestliže k matici \mathbf{A} existuje inverzní matice \mathbf{A}^{-1}, pak \lambda je vlastním číslem matice \mathbf{A} tehdy, je-li \textstyle\frac{1}{\lambda} vlastním číslem matice \mathbf{A}^{-1}. Přitom platí, že vlastní vektory matice \mathbf{A} odpovídající vlastnímu číslu \lambda jsou stejné jako vlastní vektory matice \mathbf{A}^{-1} odpovídající vlastnímu číslu \lambda^{-1}. * Pokud má matice \mathbf{A} vlastní číslo \lambda a odpovídající vlastní vektor \mathbf{u}, pak matice \mathbf{A}^2 má vlastní číslo \lambda^2 a jemu odpovídající vlastní vektor je \mathbf{u}. * Je-li vlastním číslem reálné matice \mathbf{A} komplexní číslo z, pak je také komplexně sdružené číslo \overline z vlastním číslem matice \mathbf{A}. * Je-li lineární operátor \hat A hermitovský, jsou všechna vlastní čísla reálná.
Spektrum operátoru
Jako spektrum omezeného lineárního operátoru \mathbf{A} se označuje množina komplexních čísel \lambda, pro které není operátor (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) invertovatelný. Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. +more Tato část se nazývá bodové (diskrétní) spektrum. V případě konečnorozměrných operátorů (čtvercových matic konečných rozměrů) je celé spektrum bodové. U nekonečněrozměrných operátorů mohou existovat i další části spektra, které nejsou bodové.
Pokud ke každému vlastnímu číslu A_n přísluší právě jedna vlastní funkce u_n, pak říkáme, že operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.
Pokud některým vlastním číslům A_n přísluší několik lineárně nezávislých vlastní funkcí u_{n\mu}, tzn. :\hat A u_{n\mu} = A_n u_{n\mu}, kde \mu =1,2,. +more,g_n, pak hovoříme o degenerovaném spektru. Počet lineárně nezávislých funkcí g_n se nazývá násobností (stupněm) degenerace.
Aplikace
Vlastní hodnoty geometrických zobrazení
Následující tabulka obsahuje příklady transformací v rovině s jejich 2×2 maticemi, vlastními hodnotami a vlastními vektory.
| Zvětšení | Různé zvětšení ve směru os x a y | Rotace | Horizontální zkosení | Hyperbolická rotace | |
|---|---|---|---|---|---|
| Ilustrace | +moresvg|100px'>alt=Zvětšení (Homotetická transformace) | alt=Vertikální stlačení a horizontální natažení jednotkového čtverce. | alt=Rotace o 50 stupňů | alt=Horizontální zkosení | 100px |
| Matice | \begin{pmatrix}k & 0\\ 0 & k\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{pmatrix} | \begin{pmatrix}\cosh\varphi & \sinh\varphi\\ \sinh\varphi & \cosh\varphi\end{pmatrix} |
| Charakteristický polynom | \ (\lambda - k)^2 | (\lambda - k_1)(\lambda - k_2) | \lambda^2 - 2\cos(\theta)\lambda + 1 | \ (\lambda - 1)^2 | \lambda^2 - 2\cosh(\varphi)\lambda + 1 |
| Vlastní hodnoty, \lambda_i | \lambda_1 = \lambda_2 = k | \begin{align}\lambda_1 &= k_1 \\ \lambda_2 &= k_2\end{align} | \begin{align}\lambda_1 &= e^{i\theta} \\ &= \cos\theta + i\sin\theta \\ \lambda_2 &= e^{-i\theta} \\ &= \cos\theta - i\sin\theta \end{align} | \lambda_1 = \lambda_2 = 1 | \begin{align}\lambda_1 &= e^\varphi \\ &= \cosh\varphi + \sinh\varphi \\ \lambda_2 &= e^{-\varphi} \\ &= \cosh\varphi - \sinh\varphi \end{align} |
| Algebraická násobnost, \mu_i = \mu(\lambda_i) | \mu_1 = 2 | \begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align} | \begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align} | \mu_1 = 2 | \begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align} |
| Geometrická násobnost, \gamma_i = \gamma(\lambda_i) | \gamma_1 = 2 | \begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align} | \begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align} | \gamma_1 = 1 | \begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align} |
| Vlastní vektory | Všechny nenulové vektory | \begin{align} \mathbf u_1 &= \begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} \\ \mathbf u_2 &= \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix} \end{align} | \begin{align} \mathbf u_1 &= \begin{pmatrix} 1\\ -i\end{pmatrix} \\ \mathbf u_2 &= \begin{pmatrix} 1\\ +i\end{pmatrix} \end{align} | \mathbf u_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} | \begin{align} \mathbf u_1 &= \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix} \\ \mathbf u_2 &= \begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix} \end{align} |
Charakteristická rovnice rotace je kvadratická rovnice s diskriminantem D = -4(\sin\theta)^2. Je-li celočíselný násobek 180° je vlastní číslo +1 nebo -1. +more Jinak je diskriminant záporný, a obě vlastní čísla nejsou reálná, ale komplexní \cos\theta \pm i\sin\theta; všechny vlastní vektory pak mají složky, které nejsou reálnými čísly, protože kromě uvedených speciálních případů rotace mění směr každého nenulového vektoru v rovině.
Lineární transformace, která převádí čtverec na obdélník stejné plochy má jedno vlastní číslo rovné převrácené hodnotě druhého.
Schrödingerova rovnice
Příkladem rovnice s vlastními čísly, kde transformace T je reprezentována diferenciálním operátorem, je časově nezávislá Schrödingerova rovnice v kvantové mechanice:
: H\psi_E = E\psi_E \,
kde Hamiltonián H je diferenciální operátor druhého řádu a vlnová funkce \psi_E je jednou z jeho vlastních funkcí odpovídajících vlastnímu číslu E interpretovanému jako energie.
V případě, kdy nás zajímají pouze řešení pro vázané stavy Schrödingerovy rovnice, jak je tomu často v kvantové chemii, budeme hledat \psi_E v prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí. Protože tento prostor je Hilbertův prostor s dobře definovaným skalárním součinem, můžeme zavést bázi, v níž lze \psi_E reprezentovat jednorozměrným polem (tj. +more vektorem) a H maticí. To nám umožňuje reprezentovat Schrödingerovu rovnici v maticovém tvaru.
Pro zápis se často používá Diracova notace. Vektor, který reprezentuje stav systému v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí, je reprezentován |\Psi_E\rangle. +more S použitím této notace lze Schrödingerovu rovnici zapsat takto: : H|\Psi_E\rangle = E|\Psi_E\rangle.
kde |\Psi_E\rangle je vlastní stav H (který někteří autoři značí \hat{H}) a E reprezentuje vlastní číslo. H je pozorovatelný samoadjungovaný operátor, nekonečněrozměrná obdoba Hermitovské matice. +more Stejně jako v maticovém případě chápeme ve výše uvedené rovnici H|\Psi_E\rangle jako vektor získaný aplikací transformace H na |\Psi_E\rangle.
Odkazy
Reference
Související články
Determinant * Matice * Operátor * Podobnost matic * Schurův rozklad * Soustava lineárních rovnic * Spektrum matice * Vlastní frekvence