Cesko.wiki Převrácená hodnota
Author
Albert FloresV matematice se jako převrácená (neboli reciproká) hodnota čísla x označuje to číslo, které po vynásobení číslem x dává jako výsledek 1. Převrácená hodnota čísla x se označuje jako \frac{1}{x} nebo x^{-1}. Platí tedy, že x \cdot x^{-1} = 1.
Nula je jediné číslo, které nemá převrácenou hodnotu v racionálním, reálném ani komplexním oboru. (Komplexní čísla však lze rozšířit o tzv. +more komplexní nekonečno, které je v takto rozšířeném oboru jednoznačným převráceným číslem k nule. ) Všechna ostatní čísla z těchto oborů ji mají, přičemž převrácená hodnota racionálního čísla je racionální číslo, převrácená hodnota reálného čísla je reálné číslo (ale převrácená hodnota celého čísla není číslo celé (s výjimkou ±1), ale číslo racionální).
Převrácenou hodnotu komplexního čísla v algebraickém tvaru z = a + b \mathrm i lze vyjádřit jako : \frac{1}{z} = \frac{1}{a + b \mathrm i} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2} \mathrm i, v goniometrickém tvaru : \frac{1}{z} = \frac{1}{r\left(\cos(\varphi) + \mathrm i \sin(\varphi)\right)} = \frac{1}{r}\left(\cos(-\varphi) + \mathrm i \sin(-\varphi)\right).
V abstraktní algebře je převrácená hodnota označována jako inverzní prvek vzhledem k násobení, jedná se o speciální případ inverzního prvku.
Aplikace
Mnoho prakticky použitelných odvozených veličin (nejen fyzikálních) je definováno jako převrácené hodnoty jiných veličin. Jejich jednotky pak mají v dané soustavě veličin rozměr s rozměrovými exponenty opačného znaménka. +more Příklady: * Frekvence je převrácenou hodnotou periody. Jednotka hertz je proto v soustavě SI rovna reciproké sekundě. * Veličina poddajnost je definována jako převrácená hodnota tuhosti pružné soustavy. * Vzájemně reciprokými jsou elektrický odpor a elektrická vodivost. Platí to i pro některé důležité fyzikální konstanty, např. : * kvantum magnetického toku \varPhi_0 je převrácenou hodnotou Josephsonovy konstanty K_{\mathrm J} a má tedy jak hodnotu vyjádřenou převráceným číslem, tak definici vyjádřenou převráceným zlomkem zahrnujícím elementární náboj e a Planckovu konstantu h (třebaže jednotky jsou jiné, ale respektující převrácený rozměr veličiny): *: \varPhi_0 = h/(2e) \, = 2,067 833 848…×10−15 Wb, *: K_{\mathrm J} = 2e/h \, = 483 597,848 4…×109 Hz·V−1, a tedy *: 2,067 833 848…×10−15 = (483 597,848 4…×109)−1.