Kvadratická rovnice

Jako kvadratická rovnice se v matematice označuje algebraická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně: :ax^2 + bx + c = 0

Zde jsou a, b, c nějaká čísla (obvykle reálná čísla, pro komplexní čísla vizte níže), tzv. koeficienty této rovnice, x je neznámá (obvykle se předpokládá reálná nebo komplexní). +more Koeficient a je vždy různý od nuly, neboť pro a = 0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním (normovaném) tvaru, kde a = 1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

Jednotlivé členy mají také svá pojmenování: ax2 je kvadratický člen, bx je lineární člen a c absolutní člen.

Řešení rovnice

Při řešení rovnice lze postupovat tak, že se nejprve vypočítá tzv. diskriminant D = b^2 - 4ac. Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy:

* D = 0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení x = \frac{-b}{2a}. +more Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru a(x + \frac{b}{2a})^2 = 0. * D > 0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Rovnici je možno zapsat ve tvaru a(x-x_1)(x-x_2) = 0. * D x_{1,2}=\frac{-b \plusmn i \sqrt{-D}}{2a}. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru a (x-x_1) (x-x_2) = 0, ovšem kořeny x1,2 jsou nyní komplexní čísla.

Příklad

2x^2 + 9x + 4 = 0 * D = b^2-4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 * x_{1,2}=\frac{-9 \plusmn \sqrt{49}}{2 \cdot 2} * x_{1} = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}, x_{2} = \frac{-9 - 7}{4} = -4

Odvození

Vzorce pro výpočet diskriminantu a kořenů lze odvodit následujícím způsobem:

Vychází se z obecného tvaru rovnice: : ax^2 + bx + c = 0 . Protože a≠0, lze jím rovnici vynásobit: : a^2x^2 + abx + ac = 0 , což lze doplnit na druhou mocninu dvojčlenu (tzv. +more doplnění na čtverec): : (ax)^2+2ax\frac{b}{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+ac=0; nyní se zapíše vzniklý trojčlen jako druhá mocnina: : \left(ax+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+ac=0 a rovnice se vynásobí čtyřmi: : 4\left(ax+\frac{b}{2}\right)^2-b^2+4ac=0; první člen se roznásobí, z druhého vytkne číslo -1 : (2ax+b)^2-(b^2-4ac)=0 a převede se na pravou stranu: : (2ax+b)^2=b^2-4ac. Pravá je diskriminant, jehož nezápornost umožní odmocnění obou stran rovnice (v reálných číslech). Odtud plyne, proč hodnota diskriminantu určuje počet řešení kvadratické rovnice. Po odmocnění (které dává při kladném diskriminantu dvě hodnoty lišící se znaménkem, proto jsou i na levé straně uvedeny dva kořeny): : 2ax_{1,2}+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}=0, po odečtení b od obou stran: : 2ax_{1,2}=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}=0 a vydělením rovnice nenulovým výrazem 2a se dostane vzorec pro kořeny rovnice: : x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,.

Komplexní koeficienty

V nejobecnějším případě jsou také koeficienty a,b,c komplexní čísla. Řešení získáme opět výpočtem diskriminantu D = b^2 - 4ac a jeho druhé odmocniny v oboru komplexních čísel. +more Vzorec řešení je stejný jako v případě reálných koeficientů. x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}. Výsledkem jsou obecně dvě komplexní čísla, mezi nimiž nemusí být žádný vztah. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru a(x-x_1)(x-x_2) = 0. V případě nulového diskriminantu obě řešení splývají v jedno komplexní číslo x_0 a rovnice má tvar a(x-x_0)^2 = 0.

Další rovnosti

Pro kořeny rovnice platí následující rovnosti (jedná se o speciální případ Viètových vztahů): * x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} * x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Geometrický význam

Levá strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a>0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a0) nebo celá pod (pro a0. +more Tehdy existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení.

Soubor:Kvadratická rovnice 1a. png|x² − x + 1: Celá parabola je nad osou x. +more Soubor:Kvadratická rovnice 1b. png|−x² − 2x − 2: Celá parabola je pod osou x. Soubor:Kvadratická rovnice 2. png|−x² + 2x − 1: Parabola se dotýká osy x. Soubor:Kvadratická rovnice 3. png|x² − 5x + 2: Osa x parabolu protíná.

Související články

Parabola * Lineární rovnice * Kubická rovnice * Kvartická rovnice * Binomická rovnice

Externí odkazy

[url=http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html]Kvadratická rovnice[/url] v matematické encyklopedii MathWorld (anglicky)

Kategorie:Algebra Kategorie:Rovnice