Cesko.wiki Kubická rovnice
Author
Albert FloresGraf kubické funkce y=2x^3-3x^2-3x+2
Kubická rovnice (z lat. cubus - krychle) je algebraická rovnice třetího stupně. +more Její základní tvar vypadá následovně: :ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, kde a\ne 0.
Jednotlivé členy mají tato označení:
ax^3 je kubický člen, bx^2 je kvadratický člen, cx je lineární člen a d je absolutní člen.
Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o funkci nižšího řádu. a, b, c a d jsou reálná čísla.
Diskriminant
Diskriminant vypočítáme podle vztahu D = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 Mohou nastat tři případy:
* D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen * D > 0, rovnice má tři reálné kořeny * D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny
Řešení rovnice
Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:
Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar :x^3 + ax^2 + bx +c = 0. Substitucí x = t - a/3 odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu : t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{kde}\quad p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{a}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. +more Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí t=y-{p\over 3y} a vynásobením obou stran y^3. Po úpravách dostaneme rovnici :y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0, což je kvadratická rovnice vůči y^3. Po nalezení y zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu x. Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.
Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.
Kubická rovnice bez absolutního členu
U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.
Příklad
x^3-5x^2+6x=0
x(x^2-5x+6)=0
Dále řešíme kvadratickou rovnici x^2-5x+6=0, jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny: x_1=0, x_2=2, x_3=3
Reciproká rovnice
Jestliže koeficienty a=d, b=c pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. +more Rovnici tedy vydělíme výrazem (x+1), získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže a=-d, b=-c pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem (x-1).
Příklad
2x^3-3x^2-3x+2=0
(2x^3-3x^2-3x+2):(x+1)=[(2x^3+2)-(3x^2+3x)]:(x+1)=\tfrac{2(x^3+1)}{x+1}-\tfrac{3x(x+1)}{x+1}=\tfrac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}-3x=2x^2-5x+2
Kořeny jsou následující: x_1=-1, x_2=\tfrac{1}{2}, x_3=2
Kubická rovnice s celočíselným kořenem
Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1
Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu
Taková rovnice je binomická, např.: x^3-27=0
Viètovy vzorce
Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}
Související články
Lineární rovnice * Kvadratická rovnice * Binomická rovnice * Cardanovy vzorce * Viètovy vzorce