Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar :x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1) Substitucí (posunutím) x = t - a/3 odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici : t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{kde}\quad p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{a}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. +more \qquad (2) Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí t=y-{p\over 3y} a vynásobením obou stran y^3, po mnoha pokráceních dostaneme y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0, kterou jednoduše vyřešíme.

My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující : t=u+v Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme : : u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 (3) Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky : 3uv+p=0. To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. +more Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme : - u^3 + \frac{p^3}{27u^3} = q. Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme : u^6 + qu^3 - p^3/27 = 0\,. Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že : u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}} : u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \quad (4) Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme :x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}. Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (\pm), a tři komplexní řešení třetí odmocniny - hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená \tfrac{-1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a :v = -\sqrt[3]{q}. Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak :u=\sqrt{p/3} a :v=-\sqrt{p/3}, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0, :t=ju-p/3ju=\sqrt{-p} a :t=u/j-jp/3u=-\sqrt{-p}, kde :j=\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici :x^3 + ax^2 + bx +c = 0\ řešení pro neznámou x dostaneme jako :x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3} kde :p = b - \frac{a^2}3 :q = c + \frac{2a^3-9ab}{27} :u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}.

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} nebo \frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} .

Ale protože u a v musí splňovat -u^{3}-v^{3}=q a -uv=\frac{p}{3} , můžeme dokázat, že pokud

u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} , pak v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

u=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.~~~a~~~v=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.

Nezapomeňte, že díky ~t=u+v~ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud -uv=\frac{p}{3} , takže musí platit -

t=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.

a x dostaneme jako x=t-\frac{a}{3}

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

D=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}.

Potom platí:

# Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny. # Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. +more casus irreducibilis). # Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

Kategorie:Rovnice