Cesko.wiki Komplexně sdružené číslo
Author
Albert Floresgrafické znázornění kompl. sdružených čísel V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla z=a+bi=r e^{i \phi} (kde a, b a \phi jsou reálná čísla, r nezáporné) nazývá číslo \overline{z} = a-bi=r e^{-i \phi}. Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo a často také pomocí hvězdičky, například:
\overline{3-2i} = (3-2i)^* = 3 + 2i
\overline{i} = i^* = -i
\overline{7} = 7^* =7
Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.
Vlastnosti
Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak. : \overline{z} = \overline{w}, právě tehdy když z=w : \overline{(\overline{z})} = z : \overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w} : \overline{zw} = \overline{z}\ \overline{w} : \overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} pro w nenulové : \overline{z} = z právě když je z reálné číslo : \left| \overline{z} \right| = \left| z \right| : {\left| z \right|}^2 = z\overline{z} : z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2} pro z nenulové
První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.
Komplexní sdružení matice
Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto :\overline {\;\cdot\;}: M_{n \times m}(\mathbb C) \to M_{n \times m}(\mathbb C)
takže dle dané matice A :A=(a_{ij}) \mapsto \overline A = (\overline {a_{ij}}).
Příklad
:A=\begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto \overline A = \begin{bmatrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{bmatrix}
