Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru x^n-a=0 s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru

\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}

Úhel \omega komplexní číslo a s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. +more Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé x.

|x|=\sqrt[n]

a

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

\begin{array}{rcl}\cos n\varphi&=&\cos\omega\\n\varphi&=&\omega+2k\pi\\\varphi&=&\dfrac{\omega+2k\pi}{n}\end{array}

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu \omega. Pokud je číslo a kladné reálné, poté uvažujeme úhel \omega=0. +more Naopak, když je a reálné záporné, uvažujeme úhel \omega=\pi. Pokud uvažujeme, že a má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:.

Řešení

Binomická rovnice má celkem n řešení. Při jejich hledání se za koeficient k dosazují postupně hodnoty množiny \{0;1;\cdots;n-1\}. +more Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného n-úhelníka. (Vrcholy takovného n-úhelníka pro rovnici x^n-1=0 leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto n-úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě [1;0], čili jedno z řešení je vždy x_1=1. ) Samotné řešení je.

1. možnost \omega=0

x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]

a

\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]

2. možnost \omega=\pi

x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]

a

\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]

3. možnost neurčitého \omega a komplexního a

x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]

a

\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]

Kategorie:Rovnice