Doplnění na čtverec

Animace doplnění na čtverec Doplnění na čtverec je postup pro transformaci algebraických výrazů, ve kterých se vyskytují členy s proměnnou v první i druhé mocnině. Doplněním na čtverec se výraz upraví tak, že v něm vystupuje pouze kvadrát dvojčlenu obsahujícího tuto proměnnou. Zbavíme se tedy první mocniny proměnné. Přesně řečeno polynom druhého stupně v proměnné x

:ax^2 + bx + c

převedeme do tvaru

: a(x+h)^2 + k,

kde h a k jsou vhodně zvolené konstanty závislé na koeficientech a, b, c. Metodu lze použít například k řešení kvadratických rovnic, ke stanovení extrémů kvadratických funkcí, ke zjištění kanonického tvaru kvadriky nebo při výpočtu některých integrálů.

Doplnění na čtverec vychází z platnosti binomických formulí, tedy vzorečků (u+v)^2 = u^2 + 2 u v + v^2 a (u-v)^2 = u^2 - 2 u v + v^2. Pokud jsou po ruce první dva členy na pravé straně některé z těchto formulí, lze „přičarovat“ třetí člen tak, že k výrazu přičteme nulu v podobě 0 = v^2 - v^2. +more Tím chybějící v^2 do výrazu doplníme a lze použít příslušnou formuli, tedy přejít ke čtverci (u+v)^2 nebo (u-v)^2.

Postup

Úprava kvadratické funkce

Daná kvadratická funkce:	y=ax^2+bx+c\,
Vytknutí koeficientu nejvyšší mocniny:	y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c

V závorce nyní přičteme a zároveň odečteme stejnou vhodně zvolenou konstantu, čímž se hodnota závorky nezmění. Konstantu volíme tak, aby první tři sčítance tvořily čtverec nějakého dvojčlenu podle binomické formule. +more Jinými slovy chceme získat tvar (x^2+2dx+d^2) - d^2 Tento krok dal metodě jméno - doplňujeme nový člen, abychom získali čtverec, tedy druhou mocninu nějakého výrazu. [wiki_table=9203b206] x_S=-b/(2a) je první souřadnice vrcholu - jde o záporně vzatý druhý sčítanec v umocněném dvojčlenu. Pokud totiž x nabývá této hodnoty, oba členy v první závorce se vyruší a dvojčlen je nulový, a tedy jeho druhá mocnina je nejmenší možná. Pro hodnotu y čili druhou souřadnici vrcholu paraboly y_S pak platí y_S=c-a \cdot (x_S)^2, což je přímo druhá závorka čili konstantní člen upraveného výrazu,.

Příklad

Daná kvadratická funkce:	y=2x^2-12x+13\,
Vytkneme dvojku:	y=2(x^2-6x)+13\,

Protože (\tfrac{6}{2})^2 = 9, přičteme „maskovanou nulu“ 9-9: [wiki_table=a6c01af0]

Řešení kvadratické rovnice

Doplnění na čtverec lze použít také k řešení kvadratické rovnice. Přitom si nepotřebujeme pamatovat vzoreček pro kořeny takové rovnice, stačí umět použít trik s doplněním na čtverec. +more Ukažme si to na příkladu:

Zadaná kvadratická rovnice:	2x^2-12x=32\,
Vykrácení:	x^2-6x=16\,

Levou stranu rovnice chceme mít ve tvaru x^2-2dx+d^2, abychom mohli použít vzorec pro čtverec dvojčlenu. Samozřejmě musíme d^2 přičíst také k pravé straně rovnice: [wiki_table=60e36cf5].

Integrace racionálních lomených funkcí

Neurčitý integrál

: \int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x

lze ve jmenovateli upravit doplněním na čtverec

: 4x^2-8x+13 = \dotsb = 4(x-1)^2+9\,.

Vytkneme-li a substituujeme za x - 1, dostaneme se k tabulkovému integrálu, v němž opět zpětně substituujeme x:

: \begin{align}\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2+(\frac{3}{2})^2}\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\arctan\frac{2(x-1)}{3}+ C \end{align}

V posledním transformačním kroku se použil známý integrál, který lze nalézt v tabulce primitivních funkcí:

: \int\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

Normální forma kvadriky

Kvadriku

: Q = \{(x,y) \in \R^2 \mid q(x,y) = 0\}, kde q(x,y) = x^2 + 4xy + 5y^2 - 6x - 14y + 9

chceme upravit na afinní normální formu. Nejprve doplníme na čtverec v proměnné x (y se v tuto chvíli považuje za parametr), a potom v y. Postup je

: \begin{align} q(x,y) &= x^2 + (4y-6)x + 5y^2 - 14y + 9 \\ &= x^2 + (4y-6)x + (2y-3)^2 - (2y-3)^2 + 5y^2 - 14y + 9 \\ &= (x + 2y - 3)^2 - (2y-3)^2 + 5y^2 - 14y + 9 \\ &= (x + 2y - 3)^2 + y^2 -2y \\ &= (x + 2y - 3)^2 + y^2 -2y + 1^2 - 1^2 \\ &= (x + 2y - 3)^2 + (y-1)^2 - 1 \end{align}

Substitucí u = x + 2y - 3, v = y-1 získáme rovnicí kružnice u^2 + v^2 = 1.

Reference

Literatura

FA Willers, KG Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Vydání. Springer, 2013, [url=https://books.google.de/books?id=-EyoBgAAQBAJ&pg=PA84]s. 84-86[/url]

Externí odkazy

Kategorie:Elementární matematika Kategorie:Algebra