Cesko.wiki Samoadjungovaný operátor
Author
Albert FloresSamoadjungovaný operátor je lineární operátor se zvláštními vlastnostmi. Operátory a především samoadjungované operátory studuje funkcionální analýza. Samoadjungovaný operátor je zobecněním samoadjungované matice.
Definice
V této části je uvedena definice samoadjungovaného operátoru. V první části pro omezené operátory, ve druhé pro neomezené. +more Vzhledem k tomu, že omezené operátory lze definovat vždy na celém vektorovém prostoru, je omezený samoadjungovaný operátor speciálním případem neomezeného samoadjungovaného operátoru.
Omezené operátory
Nechť (H,\langle. ,. +more\rangle) je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru H a skalárního součinu \langle \cdot, \cdot\rangle a nechť T \colon H \to H je omezený lineární operátor. Pokud operátor T splňuje rovnici.
: \langle T x ,y\rangle = \langle x , T y \rangle,
nazývá se samoadjungovaný.
Neomezené operátory
Nechť (H,\langle. ,. +more\rangle) je Hilbertův prostor sestávající z vektorového prostoru H a skalárního součinu \langle \cdot, \cdot\rangle a nechť T \colon D(T) \to H je hustě definovaný operátor. Nechť D(T^*) je prostor všech y \in H, takový, že lineární funkcionál.
: x \mapsto \langle Tx,y \rangle
je spojitý. Tento funkcionál má definiční obor D(T), a proto je hustě definovaný v H. +more Proto má jednoznačně spojité rozšíření na celé H. Podle Rieszovy věty o reprezentaci existuje jednoznačně určený prvek T^* y \in H, takový, že.
: \langle T x ,y\rangle = \langle x , T^* y \rangle
platí pro všechna x \in H. Operátor T^* s definičním oborem D(T^*) je k T jednoznačně přiřazený sdružený operátor.
Operátor T se nazývá samoadjungovaný, pokud platí T = T^* a D(T) = D(T^*), tedy pokud operátor T se svým adjungovaným operátorem T^* mají stejný definiční obor.
Historie
Základy teorie neomezených operátorů položil John von Neumann v roce 1929, a byl také první, kdo rozpoznal nutnost rozlišovat symetrické a samoadjungované operátory. Protože pouze pro samoadjungované operátory může existovat spektrální rozklad popsaný v poslední části tohoto článku. +more Von Neumann nazýval symetrické operátory hermitovskými. Zjistil, že je pro spektrální rozklad mimo jiné důležité, aby operátor nepřipouštěl žádná symetrická rozšíření, a nazval tuto třídu operátorů maximálně Hermitovskou. Tento požadavek však není postačující pro spektrální větu, která předpokládá samoadjungované operátory. Na podnět Erharda Schmidta von Neumann nazval samoadjungované operátory hypermaximální. Pojem samoadjungovaný operátor zavedl Marshall Harvey Stone.
Příbuzné objekty
Samoadjungovaná matice
Nechť \mathbb{K} \in \{\R, \Complex\} je reálné nebo komplexní těleso a nechť je \langle \cdot , \cdot \rangle je skalární součin na \mathbb{K}^n, pak (\mathbb{K}^n , \langle \cdot , \cdot \rangle) je Hilbertův prostor. Matice A se nazývá samoadjungovaná, pokud pro všechna x , y \in \mathbb{K}^n platí :\langle Ay , x \rangle = \langle y , Ax \rangle. +more Matici A chápeme jako Lineární zobrazení na \mathbb{K}^n. Protože A je zobrazení mezi vektorovými prostory konečné dimenze, je zobrazení reprezentované A omezené, a proto je spojité a tedy také hustě definované. Samoadjungovaná matice je tedy také samoadjungovaným operátorem. Pokud uvažujeme \R^n se svým standardním skalárním součinem, pak symetrické matice odpovídají samoadjungovaným. V případě \Complex^n s odpovídajícím kanonickým skalárním součinem jsou Hermitovské matice samoadjungované.
Symetrický operátor
Operátor T \colon D(T) \to H se nazývá symetrický, pokud pro všechny x, \, y \in D(T) platí : \langle T y ,x\rangle = \langle y , T x \rangle Na rozdíl od samoadjungovaného operátoru se nevyžaduje, aby operátor T byl hustě definovaný (ale v literatuře to není jednotné). Je-li T hustě definovaný (a v důsledku toho je adjungovaný operátor dobře definovaný), pak je T symetrický, pravě tehdy, když platí T\subseteq T^*. +more Pro omezené operátory se pojmy samoadjungovaný a symetrický shodují. Proto jsou symetrické, ale ne samoadjungované operátory vždy neomezené. Hellingerova-Toeplitzova věta kromě toho říká, že každý symetrický operátor definovaný na celém H je spojitý a proto je také samoadjungovaný.
V podstatě samoadjungovaný operátor
Operátor T\colon D(T) \to H se nazývá v podstatě samoadjungovaný, pokud je symetrický, hustě definovaný a jeho uzávěr je samoadjungovaný. V podstatě samoadjungovaný operátor můžeme tedy vždy rozšířit na samoadjungovaný.
Příklady
Symetrické matice
Symetrické matice A \in \R^{n \times n} můžeme chápat jako operátory A\colon \R^n \to \R^n. S ohledem na standardní skalární součiny je každá symetrická matice samoadjungovaná, to jest je samoadjungovaným operátorem.
Operátor -i d/dx
Pokud je operátor omezený, pak, jak již bylo uvedeno, jsou pojmy symetrický operátor, v podstatě samoadjungovaný operátor a samoadjungovaný operátor ekvivalentní. V případě neomezených operátorů implikuje samoadjungovanost symetrii, ale obráceně to neplatí. +more Protipříklad ukazuje následující dvojice: # Uvažujeme Hilbertův prostor C^\infty((0,1)) \cap L^2((0,1)) a diferenciální operátor p_1 :=-{\rm i}\,\tfrac{{\rm d} x} = \tfrac{1}\,\tfrac{{\rm d} x} s dirichletovskými okrajovými podmínkami \psi (0)=\psi (1) =0. # a pro jeho rozšíření p_2, požadujeme pouze „periodičnost“: \psi (1) = \psi (0).
Z řetězu rovností :\langle u, p_iv \rangle_{L^2} - \langle p_iu,v \rangle_{L^2} = \int_0^1 \overline{u(x)}\cdot p_i v(x)-\overline{ p_i u(x)} \cdot v(x) \mathrm{d}x =-{\rm i}\cdot \left( \overline u(1)\cdot v(1)-\overline u(0)\cdot v(0)\right) = 0 plyne, že operátory p_i pro i \in \{1,2\} jsou symetrické. Avšak pouze operátor p_2 je samoadjungovaný, protože v prvním případě je definiční obor zbytečně omezený. +more Pak nemá vůbec žádné vlastní funkce, protože ty jsou všechny ve tvaru \exp (i\lambda_n\cdot x), takže požadovaná podmínka \psi (0)=0 bude porušena.
Laplaceův operátor
Laplaceův operátor \Delta\colon D(\Delta) \to L^2(\R^n) je neomezený operátor. S ohledem na L^2-skalární součiny je samoadjungovaný. +more To znamená, že je pro tento skalární součin symetrický, což pro všechny f, \, g \in D(\Delta) znamená :\int_{\R^n} \Delta f(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} f(x) \Delta g(x) \mathrm{d} x, a je hustě definovaný. Diferenciál je zde potřeba chápat ve slabém smyslu. Pro definiční obor tedy platí :D(\Delta) = \{u \in L^2(\R^n): \Delta u \in L^2(\R^n) \}. Tomu vyhovuje Sobolevův prostor H^2(\R^n) kvadraticky integrovatelné a dvakrát slabě diferencovatelné funkce, které jsou husté v L^2(\R^n). Symetrie Laplaceova operátoru plyne z Greenových identit.
Operátor násobení
Nechť (\Omega,\Sigma, \mu) je prostor s mírou a f\colon \Omega \to \R je měřitelná funkce. Operátor násobení M_f \colon D(M_f) \to L^2(\mu) s definičním oborem D(M_f) = \{x \in L^2(\mu): f \cdot x \in L^2(\mu)\} \subset L^2(\mu) definujeme vztahem :x \mapsto M_f x := f \cdot x.
Tento operátor je neomezený a hustě definovaný, protože pro \Omega_n := \{\omega \in \Omega: |f(\omega)| \leq n\} obsahuje D(M_f) všechny L^2-třídy, které mimo z \Omega_n zanikají, a kvůli \textstyle \Omega = \bigcup_{n} \Omega_n je D(M_f) \subset L^2(\mu) hustý. Kromě toho je M_f s ohledem na L^2-skalární součiny symetrický. +more Operátor je také samoadjungovaný. Protože pro symetrický operátor, jmenovitě M_f \subset M_f^*, platí, že D(M_f) \subset D(M_f^*) a M_f^*|_{D(M_f)} = M_f, znamená to, že pro samoadjungovaný operátor musí platit D(M_f^*) \subset D(M_f). Nechť \chi_n je charakteristická funkce z \Omega_n. Pro z \in D(M_f) a x \in D(M_f^*) platí : \langle z , \chi_n M_f^* x \rangle_{L^2} = \langle \chi_n z , M_f^*x\rangle_{L^2} = \langle M_f(\chi_n z), x\rangle_{L^2} = \langle f \chi_n z, x \rangle_{L^2}.
To znamená, že \chi_n M_f^* x = \chi_n f x platí skoro všude. Tam, kde \chi_n \to 1 bodově konverguje, platí M_f^* x = fx skoro všude. +more Protože M_f^* x = f x leží v L^2, je x \in D(M_f), odtud D(M_f) = D(M_f^*), čímž jsme dokázali, že D(M_f) je samoadjungovaný.
Kritéria
Pro operátor T \colon D(T) \to H hustě definovaný v Hilbertově prostoru (H,\langle.,.\rangle) existují další kritéria samoadjungovanosti.
První kritérium
T je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v H platí # T = T^* = T^{**}.
Druhé kritérium
T je samoadjungovaný operátor právě tehdy, když v H, pokud jsou splněny následující podmínky: # T je symetrický. # T je uzavřený. +more # Nulové prostory operátorů T^* - \mathrm i \cdot Id_H a T^* + \mathrm i \cdot Id_H jsou rovné \{0\}.
U nulových prostorů vyskytujících se v poslední podmínce zjišťujeme jejich dimenze. V případě symetrického operátoru T to nazýváme defektní indexy. +more Poslední zmíněnou podmínku lze proto také vyjádřit, že defektní indexy T jsou rovny 0.
Třetí kritérium
Podmínky 2 a 3 druhého kritéria lze interpretovat jako jedinou, a tímto způsobem dostaneme pro samoadjungovanost T další rovnocenné kritérium:
T je samoadjungovaný operátor v H, právě tehdy, když pokud jsou splněny následující podmínky: # T je symetrický. # Obor hodnot operátorů T - \mathrm i \cdot Id_H a T + \mathrm i \cdot Id_H je roven H.
Čtvrté kritérium
Čtvrté kritérium ukazuje, že samoadjungovanost hustě definovaného operátoru je v podstatě určeno polohou jeho spektra v reálných číslech:
T je samoadjungovaný operátor v H právě tehdy, když jsou splněny následující podmínky: # T je symetrický. # Spektrum T je tvořeno pouze reálnými čísly, tedy \sigma(T) \subset \R .
Vlastnosti
Nechť T je hustě definovaný operátor na Hilbertově prostoru (H,\langle.,.\rangle), * pak T^*T je samoadjungovaný operátor s \langle T x, x\rangle \geq 0.
Nechť T je samoadjungovaný operátor na Hilbertově prostoru (H,\langle. ,. +more\rangle). * Pro spektrum \sigma(T) operátoru T platí \sigma(T) \subset \R. Neexistují tedy žádné spektrální hodnoty, které jsou vlastními komplexními čísly. Především samoadjungovaná matice má pouze reálné spektrum, případně vlastní čísla. * Operátor T je pozitivní, což znamená, že pro všechny x \in D(T) platí \langle T x, x\rangle \geq 0 právě tehdy, když pro spektrum \sigma(T) platí inkluze \sigma(T) \subset \langle 0,\infty\rangle . * Pokud \langle T x, x\rangle \geq 0 platí pro všechna x \in H, pak existuje samoadjungovaný operátor B splňující \langle B x, x\rangle \geq 0 pro všechna x \in H, takový, že platí B \circ B = T.
Friedrichsovo rozšíření
Nechť (H , \langle , \rangle_H) je Hilbertův prostor a T \colon D(T) \to H hustě definovaný polootevřený operátor. Pro operátor T znamená polootevřený, že pro operátor platí buď nerovnost \langle Tx,x\rangle_H \geq C\|x\|^2_H nebo nerovnost \langle Tx,x\rangle_H \leq C\|x\|^2_H pro C \in \R a pro všechna x \in D(T). +more Pak existuje k T samoadjungované rozšíření T, které splňuje stejnou podmínku.
Je třeba poznamenat, že pro polootevřený operátor T musí být výraz \langle Tx,x\rangle_H reálný, jinak relace uspořádání \geq a \leq nejsou definované; a operátory, pro které platí \langle Tx,x\rangle_H \in \R pro všechna x \in H, jsou symetrické.
Nechť T \colon D(A) \to H je uzavřený a hustě definovaný operátor. Pak lze z Friedrichsova rozšíření odvodit, že T^*T \colon \{ x \in D(T): Tx \in D(T^*)\} \to H je hustě definovaný a samoadjungovaný.
Spektrální věta pro neomezené operátory
Spektrální rozklad
Nechť (H,\langle. ,. +more\rangle_H) je Hilbertův prostor a \Sigma je borelovská σ-algebra. Pro každý samoadjungovaný operátor T \colon D(T) \to H existuje jednoznačná spektrální míra E \colon \Sigma \to L(H,H), taková, že pro x \in D(T) a y \in H platí : \langle Tx, y\rangle_H = \int_\R t\, \mathrm{d} \langle E_t \, x,y\rangle_H. Tento výrok je spektrální věta pro neomezené samoadjungované operátory. Pokud požadujeme, aby operátory byl omezený a samoadjungovaný nebo dokonce i kompaktní a samoadjungované, pak se výsledek zjednoduší. To je podrobněji vysvětleno v článku Spektrální věta.
Operátor násobení
Nechť H je Hilbertův prostor a nechť T \colon H \supset D(T) \to H je samoadjungovaný operátor. Pak existuje (v separabilním případě \sigma-konečný) prostor s mírou (\Omega,\Sigma,\mu), měřitelná funkce f \colon \Omega \to \R a unitární operátor U \colon H \to L^2(\mu), tak že platí: # x \in D(T) \Leftrightarrow f \cdot U x \in L^2(\mu) a # U T U^* \phi = f \cdot \phi pro \phi \in \{\phi \in L^2(\mu): f\cdot \phi \in L^2(\mu)\}.
V podstatě je tedy operátor násobení \phi \mapsto f \cdot \phi jediným příkladem samoadjungovaného operátoru.