Rieszova věta o reprezentaci

Rieszova věta o reprezentaci je důležité matematické tvrzení z oboru funkcionální analýzy. Tato věta umožňuje reprezentovat funkcionály na Hilbertově prostoru skalárním součinem s jistým prvkem tohoto prostoru.

Znění

Pro každý spojitý lineární funkcionál F: \mathcal{H} \rightarrow \mathbb{C} na Hilbertově prostoru \mathcal{H} existuje jediný vektor y \in \mathcal{H} takový, že: :F x = \lang x, y \rang \ \forall x \in \mathcal{H}. A navíc: :\| F \| = \| y \|

Poznámky

Podmínka spojitosti funkcionálu je ekvivalentní s podmínkou omezenosti.

V dovětku je třeba správně rozlišovat druhy norem: :\| F \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|F x \| ale :\| x \| = \sqrt{\lang x,x \rang}.

Využití

V praxi jsou skalární součiny často definovány nějakým vzorcem s použitím integrálu nebo lineární formou, v takových případech Rieszova věta zaručuje, že funkcionály je možné zapsat obdobným vzorcem. V teorii je Rieszova věta nezbytná pro zavedení sdružených operátorů, které jsou významné samy o sobě. +more Dále je této věty potřeba při zavádění duálních prostorů, které mají velké využití například v kvantové fyzice.

Důkaz

Nejprve ověříme korektnost tvrzení, tedy že taková reprezentace není v rozporu s linearitou a omezeností a funkcionálu: :F(x + z) = \lang x + z, y \rang = \lang x, y \rang + \lang z, y \rang, F(\lambda x) = \lang \lambda x, y\rang = \lambda \lang x,y \rang Obdobě omezenost, tu zajišťuje Cauchyho-Schwarzova nerovnost. :|F x| = |\lang x, y \rang| \le \|x\| \|y\|

Nyní dokážeme, že požadovaný vektor musí vždy existovat.

:Pro F = 0 je důkaz triviální, předpokládejme tedy dále, že F \ne 0. \operatorname{Ker} F je tedy uzavřený vlastní podprostor \mathcal{H}, existuje tedy nenulový vektor z \bot \operatorname{Ker} F.

:Označme G x = \lang x, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang a ukažme, že F = G. :Pro x \in \operatorname{Ker} F platí: G x = 0 = F x. +more :Jelikož z je libovolný a platí \mathcal{H} = \operatorname{Ker} F \oplus \operatorname{Span}\{z\}, stačí již jen ukázat, že: : G z = \lang z, \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2} z \rang = \frac{F z}{\| z \|^2}\lang z, z \rang = F z :Můžeme ztotožnit y = \frac{\overline{F z}}{\|z\|^2}z, takže existence je dokázána.

Jednoznačnost dokážeme sporem: :Předpokládejme, že existují dva vektory y_1 \ne y_2, takové že: F x = \lang x, y_1 \rang = \lang x, y_2 \rang \ \forall x \in \mathcal{H} :Z toho plyne: \lang x, y_1 - y_2 \rang = 0 \ \forall x \in \mathcal{H} \Rightarrow (y_1 - y_2) \bot \mathcal{H} \Rightarrow y_1 - y_2 = 0 \Rightarrow y_1 = y_2, což je spor s předpokladem.

Zbývá dokázat dovětek: :Vezměme vektor x, takový, že \| x \| \le 1, pak platí: :|F x| = \lang x, y \rang \le \| x \| \| y \| \le \| y \| \Rightarrow \| F \| \le \| y \| :Zároveň však: |F (\frac{y}{\|y\|})| = | \lang \frac{y}{\|y\|}, y \rang | = \| y \| : Z čehož vyvodíme \| F \| = \| y \|. ∎

Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Matematické věty a důkazy