Greenovy identity

Greenovy identity jsou souborem tří identit ve vektorové analýze. Jsou pojmenovány po matematikovi Georgovi Greenovi, který objevil tzv. Greenovu větu.

První Greenova identita

Tato identita je odvozena z Gaussovy věty aplikované na vektorové pole \mathbf{F}=\psi \nabla \phi : Pokud platí, že φ má spojitou druhou derivaci, a ψ má spojitou první derivaci na množině U, pak:

: \int_U \left( \psi \nabla^2 \phi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi{\partial \phi \over \partial n}\right)\, dS - \int_U \left( \nabla \phi \cdot \nabla \psi\right)\, dV

Druhá Greenova identita

Pokud φ a ψ mají obě spojité druhé derivace na U, pak:

: \int_U \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, dS

Třetí Greenova identita

Greenova třetí identita je odvozena z druhé pokud položíme \phi(. )={1 \over |\mathbf{x} - . +more|} a \nabla^2 \phi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - . \right) v R3: Pokud ψ má spojitou druhou derivaci na U .

: \oint_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \psi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \psi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k

: K = 4πψ(x) pokud x ∈ leží v U, 2πψ(x) pokud x ∈ ∂U a má tečnu v x, nule a všude jinde.

Odkazy

Reference

Kategorie:Matematická analýza