Sobolevův prostor

Technology

12 hours ago

Author

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací Lp-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací

Definice

Sobolevův prostor Wk,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ Lp(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace D^\alpha u v Lp(Ω), tj. : W^{k,p}(\Omega) = \{ u \in L^p(\Omega) : D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \,\, \forall |\alpha| \leq k \}, kde Ω je otevřena množina v Rn a 1 ≤ p ≤ +∞. +more Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru Wk,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak na prostoru Wk,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:

:\| u \|_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \left( \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}^{p} \right)^{1/p}, & 1 \leq p

:\| u \|'_{W^{k, p}(\Omega)} := \begin{cases} \sum_{| \alpha | \leq k} \| D^{\alpha}u \|_{L^{p}(\Omega)}, & 1 \leq p

Pro p k,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.

Na prostoru Wk,2(Ω) vybaveném normou \| \cdot \|_{W^{k, 2}(\Omega)} lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo Wk,2(Ω) značí Hk(Ω).

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací

Besselovy potenciální prostory

Pokud , Besselův prostor Hs,p(Rn) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

: H^{s,p}(\mathbb{R}^n) := \{f \in L^p(\mathbb{R}^n) : \mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \in L^p(\mathbb{R})^n\}

s normou

:\|f\|_{H^{s,p}(\mathbb{R}^n)} := \|\mathcal{F}^{-1}(1+ |\xi|^2)^{\frac{s}{2}}\mathcal{F}f \|_{L^p(\mathbb{R}^n)} .

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí Hk,p(Rn)=Wk,p(Rn) s ekvivalentními normami. +more Navíc platí řetěz vnoření.

: H^{k+1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow H^{k, p}(\mathbb{R}^n), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1.

Sobolev-Slobodeckého prostory

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů. Je-li Ω otevřená množina Rn, θ ∈ (0,1) a f ∈ Lp(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

: [f]_{\theta, p, \Omega} := \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac

f(x)-f(y)

{|x-y|^{\theta p + n}} \; dx \; dy .

Je-li neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor Ws, p(Ω) je dobře definován předpisem : W^{s,p}(\Omega) := \{f \in W^{\lfloor s \rfloor, p}(\Omega) : \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} ,

kde \theta = s - \lfloor s \rfloor \in (0,1). Je Banachovým prostorem s normou

: \|f \| _{W^{s, p}(\Omega)} := \|f\|_{W^{\lfloor s \rfloor,p}(\Omega)} + \sup_{|\alpha| = \lfloor s \rfloor} [D^\alpha f]_{\theta, p, \Omega} .

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

: W^{k+1,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s',p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{k, p}(\Omega), \quad k \leq s \leq s' \leq k+1 .