Banachův prostor

Technology

12 hours ago

Author

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor V nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou \|\cdot\|, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice d(x,y) = \|x - y\| limitu.

Příklady

Prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory \mathbb{R}^n a \mathbb{C}^n eukleidovskou normou

::\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2},

:pro x = (x_1, \ldots ,x_n), budou dokonce Hilbertovy.

* Prostor všech spojitých funkcí f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} opatřený normou

::\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|

:je Banachův. * Vybavíme-li předchozí prostor normou ::\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt nebo \|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt}, :Banachův již nebude.

* Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou ::\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\} :je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě Y=\mathbb{C}.