Cesko.wiki Cauchyovská posloupnost
Author
Albert FloresCauchyovská posloupnost je matematický pojem, který je pojmenován po francouzském matematikovi Augustinu Louisi Cauchyovi. Jedná se o posloupnost reálných čísel, která má tu vlastnost, že pro libovolně malý počet ε existuje k takové, že pro všechna n,m větší než k jsou absolutní hodnoty rozdílů členů posloupnosti a_n a a_m menší než ε. V překladu se též používá označení Cauchyho posloupnost. Cauchyovské posloupnosti mají důležitou roli v analýze a jsou základním pojmem pro definici limit a úplnosti metrických prostorů.
Cauchyovská posloupnost (také bolzanovská posloupnost) je taková posloupnost prvků metrického prostoru (tj. množiny, na které je definována vzdálenost mezi každými dvěma prvky), jejíž členy se k sobě blíží libovolně blízko. Každá konvergentní posloupnost je nutně cauchyovská. Obráceně to platí pouze v úplném metrickém prostoru - v úplném metrickém prostoru má každá cauchyovská posloupnost limitu.
Definice
V metrickém prostoru M s metrikou \rho je posloupnost ( x_1, x_2, \ldots ) cauchyovská, pokud pro každou libovolně malou (ale nenulovou) vzdálenost platí, že od jistého bodu jsou všechny členy posloupnosti k sobě blíže než je tato vzdálenost. Tuto tzv. +more Bolzanova-Cauchyho podmínku lze formálně zapsat :(\forall \varepsilon > 0) ( \exists n_0 \in \mathbb{N}) (\forall n \in \mathbb{N}) ( \forall m \in \mathbb{N}) (n > n_0 \land m > n_0 \Rightarrow \rho (x_n,x_m) .
Definici lze aplikovat i na racionální a reálná čísla (jakožto jednorozměrný metrický prostor s eukleidovskou metrikou): Posloupnost (a_i)_{i\in \mathbb{N}} racionálních nebo reálných čísel je cauchyovská, pokud ke každému \varepsilon>0 existuje index n_0 takový, že jím počínaje jsou všechny následující členy od sebe vzdáleny o méně než \varepsilon: :\forall \varepsilon>0 \quad \exists n_0\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge n_0 \colon \quad \left|a_m-a_n \right|.
Množina racionálních čísel není úplná, takže cauchyovská posloupnost racionálních čísel nemusí mít limitu (může konvergovat k iracionálnímu číslu). Množina reálných čísel úplná je, takže každá cauchyovská posloupnost reálných čísel má limitu.
Důsledky definice
Každá konvergentní posloupnost v metrickém prostoru je cauchyovská, tzn. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná podmínka konvergence, nikoli však obecně postačující (viz příklad racionálních čísel). +more Metrický prostor \mathbb{A}, v kterém má každá cauchyovská posloupnost limitu, která náleží do tohoto metrického prostoru \mathbb{A}, se nazývá úplný metrický prostor. * Každá konvergentní posloupnost reálných čísel je cauchyovská a naopak. Bolzanova-Cauchyho podmínka je nutná a postačující podmínka konvergence v reálném oboru. Cauchyovská posloupnost racionálních čísel však může mít iracionální limitu. * Každá cauchyovská posloupnost je omezená. Z Bolzanovy-Weierstrassovy věty pak plyne, že každá cauchyovská posloupnost reálných čísel je už konvergentní, tzn. že prostor reálných čísel je úplný.
Příklady
Harmonická posloupnost \frac 1 n je cauchyovská. *: Důkaz: Pro libovolně zvolené \varepsilon>0 lze vždy najít n_0>\frac{1}{\varepsilon} tak, že pro libovolná n\geq m>n_0 platí *:: | a_m - a_n | = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right| = \left|\frac{n-m}{mn}\right| \leq \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} . +more * Posloupnost racionálních čísel (1 + 1/n)^n je cauchyovská, ale její limita je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) proto není úplný metrický prostor.
Použití
Pomocí cauchyovské posloupnosti se definuje úplný metrický prostor. V něm cauchyovské posloupnosti a konvergentní posloupnosti splývají. +more To pak přináší výhodu při určování, zda posloupnost má limitu, neboť stačí ověřit, zda je cauchyovská, bez nutnosti samotnou limitu zjišťovat, jako např. u Banachovy věty o pevném bodě.