Harmonická posloupnost

Technology

12 hours ago

Author

Posloupnost se nazývá harmonická, jestliže převrácené hodnoty jejích členů tvoří aritmetickou posloupnost.

Je daná předpisem pro n-tý člen

a_n = \frac 1 {cn+d}, kde n \isin \mathbb{N},\; c, d \isin \mathbb{R},\; (c,d) \ne (0,0).

Vadou na kráse je, že jeden člen posloupnosti nemusí být definován. Tomu lze předejít použitím projektivního rozšíření reálné přímky (o jeden nevlastní bod \infty).

Příklad

Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel 1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots nebo posloupnost \left(\frac {2} {n+1}\right)_{n=1}^\infty je harmonická.

Název souvisí s hudební harmonií, v přirozeném ladění jsou poměry kmitočtů tónů stupnic dány poměry malých celých čísel.

Vlastnosti

Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).

Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je +\infty nebo -\infty, což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s harmonickou řadou.