Harmonická řada

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

:\left({1 \over n}\right)_{n=1}^\infty = 1,\ {1 \over 2},\ {1 \over 3},\ \dots.

Vlastnosti

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. \lim_{n \to \infty} {1\over n} = 0, řada diverguje (její součet je plus nekonečno),

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = +\infty.

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

:s_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \cdots + \frac {1} {2^n} \ge 1+ \frac 1 2+ (\frac 1 4 + \frac 1 4) + . + (\frac 1 {2^n} + . +more + \frac 1 {2^n})= 1+ \frac n 2 .

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro m=2^n tedy platí

:s_m \ge 1 + {1 \over 2} \log_2 m .

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

:s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \ge \int_1^{n+1} \! {1 \over x}\,dx = \ln (n+1) .

Přesněji platí zajímavý vztah

:\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n} {1 \over k} - \ln n\right) = \gamma,

kde \gamma je Eulerova konstanta.

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

:H_n = s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen H_1, H_2a H_6 (= 2{,}45).

Související články

Řada * Harmonická posloupnost * Harmonický průměr

Externí odkazy

Literatura

JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974. * JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady