Cesko.wiki Eulerova konstanta
Author
Albert FloresEulerova konstanta nebo též Eulerova-Mascheroniho konstanta je matematická konstanta používaná v teorii čísel a v analýze. O této konstantě není známo, zda je racionální, či iracionální.
Eulerova konstanta je přibližně 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 92 … .
Definice
Nejsnadněji lze tuto konstantu definovat jako následující limitu:
\gamma = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots + \frac{1}{n}-\ln n \right)
Je obecně známo, že harmonická řada vyskytující se v limitě je řadou divergentní, má tedy nekonečný součet. To, že výše uvedená limita je vlastní, naznačuje skutečnost, že pro velká n je možné částečný součet harmonické řady aproximovat až na Eulerovu konstantu přirozeným logaritmem.
Geometrická představa
Obsah modré plochy se rovná Eulerově konstantě Hodnotu konstanty \gamma si lze představit i geometricky. U grafů funkci
f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor},
g(x)=\frac{1}{x},
kde \lfloor x \rfloor značí (dolní) celou část čísla x, je obsah plochy mezi těmito dvěma grafy pro x od 1 do nekonečna právě roven Eulerově konstantě \gamma:
\gamma= \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x \rfloor} - \frac{1}{x}\right) dx.
