Cesko.wiki Skalární součin
Author
Albert FloresSkalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení :V\times V \to \mathbb{R} resp. V\times V \to \mathbb{C}, kde V je vektorový prostor nad číselným tělesem \mathbb{R} resp. \mathbb{C}, splňující jisté vlastnosti.
Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem :\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos \alpha, kde \alpha je úhel sevřený vektory a a b.
Způsob zápisu
Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou: * \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} - značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace. +more * \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle - značení běžné ve funkcionální analýze. * (\mathbf{u},\mathbf{v}) - starší značení, dnes již méně používané. * b\,(\mathbf{u},\mathbf{v}) - b jako bilineární forma * \langle \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \rangle - při použití Diracovy notace v kvantové mechanice.
Definice
Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V a všechna a \in T následující podmínky: # (\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})} # (\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w}) # (a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v}) # (\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0 # (\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0} Pruhem je označeno komplexní sdružení. +more Pro reálná čísla platí \overline x = x.
Vlastnosti
v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn. :(\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u}) * ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí :(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})} * pro komplexní a platí :(\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v}) * vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah :(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0 * jestliže množina \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\} vyhovuje vztahu :(\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \delta_{jk}, kde \delta_{jk} je Kroneckerovo delta, :pak tyto vektory označujeme jako ortonormální. +more Geometrická interpretace skalárního součinu. * pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv. :norma generovaná skalárním součinem: :\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})} * z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn. :\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha,.
:kde \alpha je úhel, který svírají vektory u, v.
Příklady skalárních součinů
pro dva vektory \mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i,\, \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i :(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi \mathbf{e}) lze skalární součin definovat jako : (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j}, :kde g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) je metrický tenzor (v tomto případě matice).
* pro dvě posloupnosti a,b : \mathbb{N} \to \mathbb{C} můžeme definovat skalární součin jako řadu :(a, b) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i \overline{b_i} : pokud řada konverguje.
* skalární součin funkcí (f, g)=\int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} dx pokud integrál konverguje. (meze integrace jsou obvykle 0, \pm \infty, \pm 1, \pm \pi)
Příklad výpočtu skalárního součinu
Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je :\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32.