Metrický tenzor

V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na tečném bandlu hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z tečného prostoru reálné číslo.

Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. +more Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity.

Metrická forma

Dále využíváme souřadnicový zápis vektorů. Kvadrát vzdálenosti dvou bodů je metrickým tenzorem g_{ij} dán v závislosti na souřadnicích v diferenciálním tvaru předpisem: :\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\,, kde využíváme Einsteinovu sumační konvenci, tedy sčítání přes všechny hodnoty stejných indexů v jednom členu, které mají opačnou polohu. +more Tento výraz bývá označován jako základní (nebo metrická) forma daného metrického prostoru.

Předpokládejme, že x_i představují kartézské souřadnice v n-rozměrném eukleidovském prostoru. V takovém případě lze s použitím Einsteinova sumačního pravidla psát :\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x_i\,\mathrm{d}x^i Použijeme-li v tomto prostoru křivočaré souřadnice \xi_j, tzn. +more \mathrm{d}x_i = \frac{\partial x_i}{\partial \xi^j}\mathrm{d}\xi^j, lze metrickou formu přepsat na tvar :\mathrm{d}s^2 = \frac{\partial x_i}{\partial \xi^j}\frac{\partial x_i}{\partial \xi^k}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k.

Vyjádříme-li metrický tenzor jako :g_{ij} = \frac{\partial x_k}{\partial\xi^i}\frac{\partial x_k}{\partial\xi^j} = \frac{\partial x_1}{\partial\xi^i}\frac{\partial x_1}{\partial\xi^j} + \frac{\partial x_2}{\partial\xi^i}\frac{\partial x_2}{\partial\xi^j} + \cdots + \frac{\partial x_n}{\partial\xi^i}\frac{\partial x_n}{\partial\xi^j}, pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako :\mathrm{d}s^2 = g_{jk}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k

Např. délku křivky spočteme jako: :s = \int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^j}{\mathrm{d}t}} \mathrm{d}t},\, kde t je parametr křivky. +more Takto se délka křivky zpravidla definuje pouze pokud je člen pod odmocninou podél celé křivky kladný.

Kovariantní tenzor g_{ij} bývá také vyjadřován jako :g_{ij} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j), kde \mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j představují bázi.

Podobně lze pro kontravariantní složky metrického tenzoru psát :g^{ij} = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}^j) = \frac{\partial\xi^i}{\partial x_k}\frac{\partial\xi^j}{\partial x_k} a pro smíšené složky :g_j^i = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}_j) = \frac{\partial\xi^i}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial\xi^j} = \delta_j^i, kde \delta_j^i je Kroneckerovo delta a \mathbf{e}^i, \mathbf{e}_i jsou prvky sdružených bází.

Výpočet velikostí vektorů, úhlů a vzdáleností

Velikost vektoru je tedy dána vztahem :V=\sqrt{g_{ij}V^i V^j}.\,

Úhel dvou vektorů je zpravidla definován pomocí kosinové věty (jelikož kosinus úhlu sevřeného dvěma vektory je podílem skalárního součinu těchto vektorů a součinu velikostí těchto vektorů) přepisem :\cos \vartheta = \frac{g_{ij}V^i U^j}{\sqrt{g_{ij}V^i V^j}\sqrt{g_{ij}U^i U^j}}, jsou-li výrazy pod odmocninou kladné.

Zvedání a snižování indexů metrickým tenzorem

Metrický tenzor zajišťuje rovněž přechod mezi tečným prostorem a kotečným prostorem variety. (Často se lze setkat s jiným popisem, totiž že metrický tenzor umožňuje transformovat vektorové a tenzorové veličiny mezi kovariantní a kontravariantní bází daného prostoru. +more Kovariantní a kontravariantní komponenty tenzorů jsou odlišeny polohou indexů značících složky tenzoru. Odtud zvedání a snižování indexů. ) To mj. znamená, že se prostřednictvím metrického tenzoru zvedají a snižují indexy vektorů a tenzorů, a to následujícím způsobem:.

Definujeme kontravariantní vyjádření metrického tenzoru vztahy :g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k, kde \delta^i_k je kroneckerovo delta. Složky g_{ij} známe, kdežto složky g^{ij} jsou touto soustavou jednoznačně určeny. +more Potom indexy tenzoru (m+n)-tého řádu {T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_n} zvyšujeme či snižujeme následujícím způsobem: :g^{i_{m+1} i_k}{T^{i_1\dots i_m}}_{i_1\dots i_{k-1} i_k i_{k+1}\dots i_n} = {T^{i_1\dots i_m i_{m+1}}}_{i_1\dots i_{k-1} i_{k+1}\dots i_n}, :g_{i_{n+1} i_k} {T^{i_1\dots i_{k-1} i_k i_{k+1} \dots i_m}}_{i_1\dots i_n} = {T^{i_1\dots i_{k-1} i_{k+1} \dots i_m}}_{i_1\dots i_n i_{n+1}}.

Vlastnosti

Metrický tenzor je symetrický, tzn. :g_{ij} = g_{ji} :g^{ij} = g^{ji}

Související články

Metrika * Signatura metriky

Kategorie:Riemannova geometrie