Cesko.wiki Smíšený součin
Author
Albert FloresSmíšený součin tří vektorů (v daném pořadí) trojrozměrného vektorového prostoru lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}).
V souřadnicích platí:
[\vec{a},\vec{b}, \vec{c}] = a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 + a_2 b_3 c_1 - a_2 b_1 c_3 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 = det (\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}).
Vlastnosti
Geometrický význam smíšeného součinu vektorů je (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu jimi přirozeně určeného.
Z významu plyne, že smíšený součin tří vektorů je roven nule, právě když jsou lineárně závislé (leží v jedné rovině).
Při záměně libovolných dvou vektorů změní smíšený součin znaménko. Na pořadí vektorů tedy záleží, ale změní se nejvýše znaménko výsledku.
Je to funkce lineární ve všech proměnných (multilineární funkce). Smíšený součinu vektorů kladně orientované báze je 1. +more Smíšený součin tří vektorů je tedy jednotková antisymetrická trilineární forma. Lze ho vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu ε (s Einsteinovou sumační konvencí):.
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\epsilon_{ijk} a_i b_j c_k.
Zobecnění
Vnější součin n vektorů n-rozměrného vektorového prostoru se skalárním součinem lze zavést jako jednotkovou antisymetrickou n-lineární formu (nabývá hodnoty 1 pro vektory kladně orientované ortonormální báze),
[\vec{v_1},\vec{v_2}, ... , \vec{v_n}] = det (\vec{v_1} \ \vec{v_2} \ ... \ \vec{v_n}).