Rovnoběžnostěn

Technology

12 hours ago

Author

Rovnoběžnostěn je geometrický útvar, který má všechny stěny rovnoběžné a stejně dlouhé. Tyto stěny jsou čtverce, a proto je rovnoběžnostěn také čtvercovým prizmatem. Má celkem osm vrcholů a dvanáct hran. Mezi jeho vlastnosti patří například rovnost protilehlých stěn, úhel mezi jakoukoliv dvěma sousedními stěnami je 90 stupňů a celkový úhel mezi protilehlými stěnami je rovněž 90 stupňů. Rovnoběžnostěn je často zobrazován ve výuce geometrie a je jedním z nejjednodušších příkladů pravidelných mnohostěnů.

Rovnoběžnostěn Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.

Povrch

Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme : P = 2 \Bigg[ \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2} + \Big((\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\Big)^{1/2} + \Big((\mathbf{c}\times\mathbf{a})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a})\Big)^{1/2} \Bigg] kde \mathbf{a},\,\mathbf{b},\,\mathbf{c} jsou tři různoběžné stranové vektory, "\times" značí vektorový součin dvou vektorů a "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů.

Zobecněním vektorového součinu do n-rozměrného prostoru (jedná se o součin (n-1) lineárně nezávislých vektorů délky n, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat (n-1)-rozměrný nadpovrch libovolného n-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Objem

Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů : V = \left| ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \cdot \mathbf{c} \right| = \left| ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) \cdot \mathbf{a} \right| = \left| ( \mathbf{c} \times \mathbf{a} ) \cdot \mathbf{b} \right|.

Pokud jsou vrcholy A,B,C,D,E,F,G,H rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B) atd. +more, lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto :V=\left|\det\left(\begin{array}{ccc}x_D-x_A & x_B-x_A & x_E-x_A \\ y_D-y_A & y_B-y_A & y_E-y_A \\ z_D-z_A & z_B-z_A & z_E-z_A \end{array}\right)\right|. Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0,0), pak tedy :V=|x_Dy_Bz_E+x_By_Ez_D+x_Ey_Dz_B-x_Dy_Ez_B-x_By_Dz_E-x_Ey_Bz_D|. Zcela analogicky lze spočítat obsah libovolného rovnoběžníku, resp. nadobjem libovoného n-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.