Sdružený operátor

Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze.

Definice

Jsou-li \mathcal{H} a \mathcal{K} Hilbertovy prostory, pak k lineárnímu operátoru T : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K} sdruženým operátorem T^* : \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{H}, nazveme takový operátor, který splňuje: \lang Tx , y \rang = \lang x , T^* y \rang \quad \forall x \in \mathcal{H}, y \in \mathcal{K}.

Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.

Často se pro sdružený operátor též používá značení A^{\dagger}, ve fyzice někdy A^+.

Vlastnosti

Základní vlastnosti

T^{**} = T * (S + T)^* = S^* + T^* * (ST)^* = T^*S^* * (\lambda T)^* = \overline{\lambda} T^* * Je-li T invertibilní, tak: (T^*)^{-1} = (T^{-1})^* * V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice.

Vlastnosti normy operátoru

Máme-li běžnou operátorovu normu : \| T \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|Tx \| Tak platí: :\| T \| = \| T^* \| A navíc: :\| T^*T \| = \| T \|^2

Vztah jádra a obrazu

Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.: : \operatorname{Ker}\ T^* = ( \operatorname{Im}\ T )^\bot : ( \operatorname{Ker}\ T^* )^\bot = \overline{\operatorname{Im}\ T}

Prvá rovnost platí protože: :\begin{align} T^* x = 0 &\iff \langle T^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff \langle x,Ty \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff x\ \bot \ \operatorname{Im}\ T \end{align} Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.

Kategorie:Funkcionální analýza