Cesko.wiki Pozitivní operátor
Author
Albert FloresPozitivní operátor nebo pozitivně semidefinitní operátor je v matematice označení pro takový omezený operátor A na Hilbertově prostoru \mathcal{H} (obecněji prostoru se skalárním součinem), který splňuje: \lang A x, x \rang \ge 0, \ \forall x \in \mathcal{H}.
Pozitivní vs. pozitivně definitní operátory
Často je třeba odlišit speciální třídu pozitivních operátorů, tzv. pozitivně definitní operátory, což jsou pozitivní operátory, které navíc jsou prosté, neboli nesingulární. +more Pozitivní, resp. pozitivně definitní operátory jsou jakousi analogií nezáporných, resp. kladných reálných čísel v prostoru operátorů. To lze ilustrovat následujícími ekvivalencemi.
* Ekvivalence pro pozitivní operátory. Tato tvrzení jsou ekvivalentní # A je pozitivní operátor. +more # Vlastní čísla A jsou nezáporná. # Existuje omezený operátor S takový, že: S^*S = A, kde S^* značí sdružený operátor. # Existuje Hermitovský operátor T takový, že T^2 = A. * Ekvivalence pro pozitivně definitní operátory. Tato tvrzení jsou též ekvivalentní # A je pozitivně-definitní operátor. # Vlastní čísla A jsou kladná. # Existuje nesinguálrní omezený operátor S takový, že: S^*S = A, kde S^* značí sdružený operátor. # Existuje nesingulární Hermitovský operátor T takový, že T^2 = A. # \lang A x, x \rang > 0 \ \forall x \in \mathcal{H}.
Vlastnosti 3. a 4. +more u první ekvivalence jsou analogiemi těchto vlastností nezáporných čísel: 3. ) Součin komplexně sdružených čísel je nezáporné číslo. 4. ) Nezáporná čísla lze odmocňovat, tak že výsledek je reálný.
Další vlastnosti
Každý pozitivní operátor je Hermitovský, má tedy všechny vlastnosti Hermitovských operátorů. * V konečné dimenzi je pozitivní, resp. +more pozitivně-definitní operátor reprezentovatelný pozitivně-semidefinitní resp. pozitivně-definitní maticí. * Pozitivně-definitní operátor A definuje nový skalární součin \lang \cdot,\cdot\rang_A takto: \lang x,y\rang_A = \lang A x, y \rang, kde \lang \cdot, \cdot \rang je původní skalární součin daného Hilbertova prostoru.