Hermitovský operátor

Technology

12 hours ago

Author

Hermitovský operátor, též samoadjungovaný operátor nebo samosdružený operátor je v matematice označení pro takový omezený operátor na Hilbertově prostoru, který je roven své adjunkci, tzn. takový operátor T, který splňuje \lang T x, y \rang = \lang x, T y \rang pro všechna x,y pro která je definován, kde \lang \cdot, \cdot \rang značí skalární součin.

Vlastnosti

Hermitovský operátor bývá na prostoru operátorů považován za jakési zobecnění reálného čísla, platí následující vlastnosti: * T je hermitovský právě když: \lang T x, x \rang \in \mathbb{R} * Vlastní čísla hermitovského operátoru jsou reálná. * Na prostoru konečné dimenze je reprezentován hermitovskou maticí. +more * Hermitovský operátor komutuje se svou adjunkcí (tzn. dle definice sám se sebou, což je zřejmé), je tedy takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální.

Využití

Hermitovské operátory mají velké uplatnění v kvantové fyzice, kde se jimi reprezentují pozorovatelné veličiny, jejich vlastní čísla odpovídají možným hodnotám měření a proto je přirozený požadavek, aby byla reálná, což splňují právě hermitovské operátory.