Cesko.wiki Hermitovská matice
Author
Albert FloresHermitovská matice, též samosdružená matice, hermitovsky souměrná matice je v lineární algebře taková čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel, ve které jsou všechny dvojice prvků a_{ij}, a_{ji} komplexně sdružené, tedy :a_{ij} = \overline{a_{ji}}\,.
Totéž lze vyjádřit podmínkou, že matice je rovna své hermitovské transpozici \boldsymbol A = \boldsymbol A^{\mathsf H}, nebo také tak, že pro danou matici je komplexně sdružená matice rovna matici transponované \overline{\boldsymbol A} = \boldsymbol A^{\mathsf T}
Ukázky
Matice *: \begin{pmatrix}3&2+\mathrm i\\ 2-\mathrm i&1\end{pmatrix}, kde \mathrm i=\sqrt{-1} je imaginární jednotka, je hermitovská. * Pauliho matice: *: \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}
*: jsou hermitovské.
Vlastnosti
Reálná část hermitovské matice je symetrická, tj. \mathrm{Re}(a_{jk}) = \mathrm{Re}(a_{kj}) \, zatímco imaginární část je antisymetrická, tj. +more \mathrm{Im}(a_{jk}) = - \mathrm{Im}(a_{kj})\,. * Na diagonále má hermitovská matice reálná čísla. * Reálné hermitovské matice jsou symetrické. * Inverzní matice k regulární hermitovské matici je také hermitovská. * Hermitovské matice jsou diagonalizovatelné pomocí unitární matice a výsledná diagonální matice je reálná. * Determinant hermitovské matice je reálné číslo. * Hermitovské matice jsou normální, tj. \boldsymbol A^{\mathsf H}\boldsymbol A = \boldsymbol A\boldsymbol A^{\mathsf H} * Součet hermitovských matic je hermitovský. * Součin dvou hermitovských matic \boldsymbol A a \boldsymbol B je hermitovský, právě když \boldsymbol A\boldsymbol B = \boldsymbol B\boldsymbol A. * Jestliže \boldsymbol A a \boldsymbol B jsou hermitovské, pak součin \boldsymbol{ABA} je také hermitovský.