Soustava lineárních rovnic

V matematice a lineární algebře se jako soustava lineárních rovnic označuje množina dvou nebo více lineárních rovnic se dvěma nebo více proměnnými

Například soustava 3 lineárních rovnic se 3 proměnnými rovin. +more Souřadnice průsečíku jsou řešením soustavy. .

3x_1 + 2x_2 + x_3 = 1 \,\!

2x_1 + 2x_2 + 4x_3 = -2 \,\!

-x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \,\!

Řešením je najít takové hodnoty x1, x2 a x3 pro které platí všechny rovnice zároveň.

Použití

Teorie soustav lineárních rovnic je významná část lineární algebry, předmětu, který je používán ve většině částí moderní matematiky. Výpočtové algoritmy pro nalezení řešení jsou důležitou součástí numerické lineární algebry.

Důležitost této oblasti matematiky spočívá v tom, že fyzikální modely bývají použitím metod jako metoda konečných prvků nebo metoda konečných diferencí převáděny na úlohy s obrovskými soustavami lineárních rovnic. Proto hrají metody pro práci s těmito rovnicemi a algoritmy pro řešení těchto rovnic významnou roli ve strojírenství, fyzice, chemii, informatice a ekonomii.

Soustava nelineárních rovnic může být často aproximována lineární soustavou rovnic (viz lineární aproximace), což je užitečná technika při vytváření matematického modelu, počítačové simulace nebo komplexního systému.

Řešení soustav lineárních rovnic se uplatňuje ve speciálních optimalizačních úlohách nazývaných lineární programování.

Zápis

Obecně může být soustava m lineárních rovnic s n proměnnými zapsána jako : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 : a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 : : : : : am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm,

kde proměnné x1, … ,xn jsou neznámé a aij jsou koeficienty soustavy rovnic. Čísla b_i, kde i = 1, 2, . +more,m, jsou absolutní členy soustavy (nebo také tzv. pravá strana soustavy). V obecném případě mohou být koeficienty i absolutní členy komplexními čísly.

Koeficienty lze zapsat ve tvaru matice: :\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Tuto matici označujeme jako matici soustavy.

Neznámé a pravou stranu soustavy je možné vyjádřit jako vektory :\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} :\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Celou soustavu rovnic je tedy možné vyjádřit jako : \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

nebo zkráceně v maticovém zápisu: :\mathbf{A} \cdot \vec{x} = \vec{b} popř. ve složkovém zápisu: :\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_i pro i = 1,2, ..., m.

Pro řešení soustavy lineárních rovnic se také využívá tzv. rozšířená matice soustavy :\mathbf{A}^\prime = \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)

ze které lze zjistit existenci a jednoznačnost řešení, a kterou lze použít pro výpočet řešení např. pomocí Gaussovy eliminační metody.

Homogenní a nehomogenní soustava lineárních rovnic

Pokud jsou všechna b_i = 0, lze soustavu zapsat jako :\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = 0 pro i = 1, 2 ,...,m, nebo také :\mathbf{A} \cdot \vec{x} = \mathbf{0}

Takovou soustavu označujeme jako homogenní. Pokud je alespoň jedno b_i nenulové, hovoříme o nehomogenní soustavě lineárních rovnic.

Vektorový podprostor tvořený všemi řešeními homogenní soustavy lineárních rovnic A\mathbf{x} = \mathbf{0} označujeme jako jádro matice A, značíme \ker{A} (z anglického kernel = jádro), nebo jako nulový prostor matice A.

Řešení soustavy lineárních rovnic

Řešitelnost

Pro řešení nehomogenní soustavy nad nekonečným tělesem (což jsou například reálná či komplexní čísla) může nastat pouze jeden z těchto případů: * soustava nemá řešení * soustava má jedno řešení * soustava má nekonečně mnoho řešení

Homogenní soustava lineárních algebraických rovnic má vždy triviální řešení, tzn. x_i = 0 pro všechna i.

Některé z rovnic nehomogenní soustavy mohou být lineární kombinací ostatních rovnic soustavy. Tyto rovnice lze označit jako nadbytečné (nadpočetné). +more Tyto rovnice nekladou na řešení soustavy žádné další podmínky, takže je lze ze soustavy rovnic vyloučit (eliminovat). Tento postup lze opakovat, aby upravená soustava rovnic obsahovala pouze rovnice lineárně nezávislé.

Mezi lineárně nezávislými rovnicemi mohou být některé, které jsou vzájemně rozporné, tzn. levou stranu některé z rovnic lze vyjádřit jako lineární kombinaci levých stran ostatních rovnic, avšak pravá strana dané rovnice není stejnou lineární kombinací pravých stran. +more Soustavu lze tedy zapsat tak, že bude obsahovat dvě rovnice, jejichž levé strany jsou stejné, avšak pravé strany jsou rozdílné. Takováto soustava je vnitřně rozporná a nemá žádné řešení.

K obdobnému rozporu může dojít v případě, že počet lineárně nezávislých rovnic soustavy je větší než počet neznámých. Taková, tzv. +more přeurčená soustava také nemá žádné řešení.

Frobeniova věta

Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení pouze v případě, že hodnost matice soustavy h(\mathbf{A}) je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy h(\mathbf{A}|\vec{b}) (tj. soustava je vnitřně bezrozporná). +more Pokud je h(\mathbf{A}) rovno počtu neznámých, má soustava jedno řešení; pokud je h(\mathbf{A}) menší než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho (je-li větší než počet neznámých, nemůže být splněna předchozí podmínka a soustava tedy nemá řešení).

Metody

Gaussova eliminační metoda * Cramerovo pravidlo * Řešení pomocí inverzní matice * Metoda nejmenších čtverců * LU rozklad * Choleského rozklad * Jacobiho metoda

Související články

Soustava rovnic * Rovnice

Externí odkazy

[url=http://www.hackmath.net/cz/kalkulacka/reseni-soustavy-linearnich-rovnic]Online výpočet soustav lineárních rovnic[/url]

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Rovnice