Cesko.wiki Jednotková matice
Author
Albert FloresV lineární algebře označuje pojem jednotková matice řádu n čtvercovou matici n \times n, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice řádu n se značí \mathbf I_n nebo \mathbf E_n. Index je možné vynechat a psát jen \mathbf I nebo \mathbf E, je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu. \mathbf I_1 = \mathbf E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ \mathbf I_2 = \mathbf E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \mathbf I_3 = \mathbf E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ \mathbf I_n = \mathbf E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
Vlastnosti
Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k součinu matic, tj. platí \boldsymbol{A}\mathbf{I} = \boldsymbol{A} a \mathbf{I}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}, kdykoli je příslušný součin matic definován.
Jednotková matice je regulární, protože je inverzní sama k sobě. Zároveň je symetrická i ortogonální. +more Nemění se umocňováním. Její odmocnina (tj. matice \boldsymbol{A} splňující \boldsymbol{A}^2=\mathbf{I}) není jednoznačná. Odmocninou může být opět jednotková matice, ovšem existují také odmocniny nediagonální, např. \begin{pmatrix} 4/5 & 3/5 \\ 3/5 & -4/5 \\ \end{pmatrix} i nesymetrické.
Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.
Poznámky ke značení
Symbol \mathbf I pochází z angl. , doslova matice identity, coby identického zobrazení \mathrm{id}.
Naopak symbol \mathbf E má patrně původ v něm. , což také souvisí s obvyklým značením neutrálního prvku v grupě symbolem e. +more Sloupce jednotkové matice tvoří vektory standardní báze, které bývají často označovány \mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n.
Řídce bývají používány symboly \mathbf U a \boldsymbol 1 a jejich typografické varianty.
Coby dobře definovanou matematickou konstantu je možné vídat symbol jednotkové matice psán neskloněným písmem (antikvou), tedy \mathbf I, resp. \mathbf E, pro odlišení od skloněných symbolů užívaných pro proměnné matice \boldsymbol A.