Subdeterminant

Technology

12 hours ago

Author

Subdeterminanty matice: zeleně je vyznačena podmatice odpovídající (druhému) minoru řádu 3 a hodnoty 16, žlutě podmatice k hlavnímu minoru řádu 2 hodnoty -7 a purpurově podmatice k vedoucímu hlavnímu minoru hodnoty 4. V lineární algebře je subdeterminant nebo též minor matice \boldsymbol{A} determinantem podmatice, která byla z matice \boldsymbol{A} získána odstraněním některých řádků a sloupců. Počet řádků podmatice je řádem subdeterminantu. Subdeterminanty získané odstraněním právě jednoho řádku a jednoho sloupce ze čtvercové matice umožňují redukovat řád determinantu pomocí rozvoje podle řádku nebo sloupce. Prostřednictvím adjungované matice také souvisejí s inverzní maticí.

Definice

Pro matici \boldsymbol{A} typu m \times n a 0\leq k \leq \min\{m, n\} se subdeterminantem nebo minorem řádu k, nazývá determinant čtvercové matice řádu k získané z matice \boldsymbol{A} odebráním m-k řádků a n-k sloupců. Někdy se používá slovo „stupeň“ pro „řád“ subdeterminantu či minoru. +more Termín „minor“ se také nesprávně používá k označení čtvercové matice řádu k získané uvedeným způsobem, ale tato matice by měla být označována jako (čtvercová) podmatice matice \boldsymbol{A}, přičemž výraz „minor“ by měl být užíván pouze pro determinant této matice.

Matice \boldsymbol{A} typu m \times n má celkem \binom{m}{k} \cdot\binom{n}{k} subdeterminantů řádu k. Subdeterminant řádu nula je definován jako 1.

Operace odebrání formálně spočívá ve výběru posloupnosti indexů řádků 1 \le i_1 a posloupnosti indexů sloupců 1 \le j_1 . Tyto vybrané množiny indexů I = \{i_1, \dots, i_k\} a J= \{j_1, \dots, j_k\} se použijí k výpočtu determinantu podmatice \boldsymbol{A}[I \times J], čili výrazu:

:\det(\boldsymbol{A}[I \times J])= \begin{vmatrix} a_{i_1,j_1} & a_{i_1,j_2} & \dots & a_{i_1,j_k} \\ a_{i_2,j_1} & a_{i_2,j_2} & \dots & a_{i_2,j_k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i_k,j_1} & a_{i_k,j_2} & \dots & a_{i_k,j_k} \end{vmatrix}

Je-li \boldsymbol{A} čtvercová matice řádu n, potom její první minor je každý subdeterminant řádu n-1, a jako takový vzniká odebráním jednoho řádku a sloupce. Podobně pro druhé a další minory. +more Za nultý minor čtvercové matice lze považovat její determinant.

První minor, který je determinantem podmatice vytvořené z čtvercové matice \boldsymbol{A} odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce se nazývá subdeterminant (minor) příslušný k prvku a_{ij} matice \boldsymbol{A}.

Pokud I = J, čili pokud z matice bylo ponecháno k řádků a sloupců se stejnými indexy, nazývá se odpovídající subdeterminant hlavním minorem stupně k (platí i pro obdélníkové matice). Hlavní minor stupně k, vzniklý odebráním posledních m-k řádků a n-k sloupců, neboli daný množinami I = J = \{1, 2, \dots, k\}, se nazývá vedoucí hlavní minor řádu k. +more U čtvercových matic řádu n se nazývá též (n-k)-tý vedoucí (hlavní) minor.

Někdy jsou vedoucí hlavní minory nazývány hlavními minory, zatímco první zmíněné nejsou nijak zvlášť pojmenovány.

Ukázka

U reálné matice

: \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

typu 3 \times 4 vznikne odebráním druhého řádku a také druhého a třetího sloupce, neboli ponecháním prvků s řádkovými indexy z množiny I = \{1, 3\} a sloupcovými indexy z množiny J = \{1,4\} subdeterminant hodnoty:

: \begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10.

Tento minor není hlavní, protože I \ne J. Hlavní minor matice \boldsymbol{A} je například subdeterminant

: \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8

odvozený z množin I = J=\{2,3\}.

Vedoucí hlavní minory matice \boldsymbol{A} jsou:

: řádu 1: \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1,\quad řádu 2: \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad řádu 3: \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55.

Subdeterminant příslušný k prvku a_{23} reálné čtvercové matice : \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \end{pmatrix}

je roven:

: \begin{vmatrix} 1 & 4 & \Box \\ \Box & \Box & \Box \\ -1 & 9 & \Box \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \\ \end{vmatrix} = 9-(-4) = 13

Použití subdeterminantů

Algebraický doplněk

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem prvku a_{ij} čtvercové matice \boldsymbol{A} nazýváme číslo

: \tilde a_{ij} = {(-1)}^{i + j} {\det \boldsymbol{A}_{ij}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} &0 & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n}\\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} &0 & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n}\\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & \dots & a_{n,n} \end{vmatrix}\;,

kde \det \boldsymbol{A}_{ij} je subdeterminant příslušný k prvku a_{ij} matice \boldsymbol{A}. Transponovaná matice z algebraických doplňků se nazývá adjungovaná matice. +more Adjungovaná matice k regulární matici je |\boldsymbol{A}|-násobkem její inverzní matice.

Laplaceův rozvoj determinantu

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu. Pro libovolný (pevně daný) řádkový index i lze determinant matice \boldsymbol{A} řádu n vyjádřit pomocí součtu součinů všech prvků tohoto řádku a jejich algebraických doplňků:

:\det \boldsymbol{A} = \sum_{j=1}^n a_{ij} \tilde a_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij} {(-1)}^{i + j} \det \boldsymbol{A}_{ij}.

Tento vzorec se nazývá (Laplaceův) rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Vzhledem k tomu, že se determinant nezmění transpozicí matice, lze jej vyjádřit teké rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce:

:\det \boldsymbol{A} = \sum_{i=1}^n a_{ij} \tilde a_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ij} {(-1)}^{i + j} \det \boldsymbol{A}_{ij}.

Pomocí těchto vzorců lze výpočet determinantu převést na výpočet několika subdeterminantů, jejichž řád je o jedna menší. Opakováním tohoto procesu lze dospět až k subdeterminantům prvního řádu, jejichž hodnota je odpovídá jednotlivým prvkům matice. +more Uvedený postup vede na [url=https://en. wikibooks. org/w/index. php. title=Algorithm_Implementation/Linear_Algebra/Determinant_of_a_Matrix&stable=0]rekurentní algoritmus[/url] pro výpočet determinantu. Navzdory jednoduché implementaci roste jeho výpočetní složitost exponenciálně rychle s řádem determinantu, proto je vhodnější determínant počítat např. Gaussovou eliminační metodou.

Rozvoj determinantu je možné zobecnit i na rozvoj podle víceprvkové množiny vybraných řádků s využitím všech možných subdeterminantů sestavených z těchto řádků.

Další aplikace

Každá reálná matice typu m \times n hodnosti r (platí i pro matice nad libovolným tělesem) má alespoň jeden nenulový subdeterminant řádu r, zatímco všechny subdeterminanty řádu alespoň r+1 jsou nulové.

U hermitovských matic mohou být vedoucí hlavní minory použity k testu pozitivní definitnosti podle Sylvesterova kritéria a hlavní minory mohou být podobně použity k testu pozitivní semidefinitnosti.

Jak vzorec pro obyčejný součin matic, tak i Cauchyho-Binetův vzorec pro determinant součinu matic jsou speciálními případy následujícího obecného tvrzení o subdeterminantech součinu matic. Jsou-li matice \boldsymbol{A} typu m\times n, matice \boldsymbol{B} typu n\times p a jsou-li I a J dvě k-prvkové podmnožiny množin\{1,\dots,m\} a \{1,\dots,p\}, potom platí:

: (\boldsymbol{AB})[I\times J] = \sum_{K} \mathbf{A}[I\times K]\cdot \mathbf{B}[K\times J]\,,

kde součet prochází přes všechny k-prvkové podmnožiny K množiny \{1,\dots,n\}. Uvedený vztah je přímým rozšířením Cauchyho-Binetova vzorce.