Sylvesterovo kritérium

Technology

12 hours ago

Author

Sylvesterovo kritérium, též Sylvesterovo kriterium pozitivní definitnosti, pojmenované po Jamesovi Sylvesterovi, je matematické kritérium kterým lze rozhodnout, zdali je reálná symetrická matice či komplexní hermitovská matice pozitivně definitní.

Znění kritéria

Nechť \boldsymbol A je symetrická matice, kde

:\boldsymbol A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}.

a D_1, D_2, \ldots, D_n jsou determinanty následujících hlavních podmatic matice \boldsymbol A:

:D_1 = |a_{11}|, \quad D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad\ldots,\quad D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \det \boldsymbol A.

Matice \boldsymbol A je pozitivně definitní, právě když jsou všechny determinanty D_1, D_2, \ldots, D_n kladné.