Podmíněnost matice

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Podmíněnost matice je v matematice míra, která vyjadřuje stabilitu a přesnost výpočtů prováděných s maticemi. Článek popisuje, jak se vypočítává podmíněnost matice, a jaké jsou její vlastnosti a význam v různých oblastech matematiky a aplikací. Dále se článek zabývá různými metodami snižování podmíněnosti matice, které slouží ke zlepšení přesnosti výpočtů. Snižování podmíněnosti je důležité především při numerickém řešení lineárních rovnic a aproximacích funkcí. Na konci článku jsou uvedeny příklady konkrétních využití a aplikací podmíněnosti matice v různých oblastech vědy a techniky.

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice

Nechť A\in\mathbb{R}^{n\times n} je čtvercová regulární matice, pak číslo

:\kappa_p(A)=\|A\|_p\|A^{-1}\|_p,

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice A symetrická pozitivně definitní (tj. +more normální matice s kladnými vlastními čísly), pak.

:\kappa_2(A)=\frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)},

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice A.

Je-li regulární matice A normální (tedy A^TA=AA^T), pak

:\kappa_2(A)=\frac{\max\{|\lambda|;\lambda\in\mathrm{sp}(A)\}}{\min\{|\lambda|;\lambda\in\mathrm{sp}(A)\}},

kde \mathrm{sp}(A) je spektrum matice A; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice A.

Pro obecnou čtvercovou regulární matici A je podmíněnost

:\kappa_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_n}=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)},

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice A (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

:\kappa_2(A)=\kappa_2(A^T)=\kappa_2(A^{-1})=\kappa_2(\alpha A), \qquad \kappa_2(AA^T)=\kappa_2(A^TA)=\kappa_2(AA)=\kappa_2^2(A).

Příklady

Ortogonální matice

Je-li matice A ortogonální, pak zřejmě \kappa_2(A)=1. Obecně platí

:A^TA=AA^T=\alpha^2 I_n\qquad\Longleftrightarrow\qquad\kappa_2(A)=1,

kde \alpha\neq 0.

Vzdálenost od nejbližší singulární matice

Je-li matice A regulární, a matice E je nějaká její perturbace tak, že

:\frac{\|E\|_2}{\|A\|_2}

pak je i matice A+E regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

:\frac{\|E\|}{\|A\|}

lze zapsat ve tvaru \|A^{-1}\|\|E\|. Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li A+E singulární, pak \|A^{-1}\|\|E\|\geq1. +more Nechť tedy existuje v\neq0 tak, že (A+E)v=0, tedy v=-A^{-1}Ev, pak.

:\|v\|=\|A^{-1}Ev\|\leq\|A^{-1}\|\|E\|\|v\|.

Protože \|v\|\neq0 můžeme nerovnost dělit \|v\| a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální. +more).

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. +more V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice.

:A=\alpha I_n\in\mathbb{R}^{n\times n},\qquad \alpha = 10^{-1},\;n=1000,

pak

:\det(A)=\alpha^n=10^{-1000},\qquad \kappa_2(A)=\frac\alpha\alpha=1.

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, \epsilon_M\approx2.22\times10^{-16}) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita

Nechť A(t) je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru t a nechť všechna singulární čísla matice A(t) jsou jednoduchá pro všechna t (pak jsou též spojitými funkcemi parametru t). Nechť je matice A(t) regulární všude v nějakém okolí bodu t=t_0 a zároveň A(t_0) je singulární. +more Pak.

:\lim_{t\rightarrow t_0}\kappa_2(A(t)) = +\infty.

Obdélníková matice

Uvažujme obdélníkovou matici A\in\mathbb{R}^{m\times n}, která má plnou hodnost, tedy \mathrm{rank}(A)=r\equiv\min\{m,n\}. Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

:\kappa_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_r}=\frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}=\|A\|_2\|A^\dagger\|_2,

kde A^\dagger je Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice A.

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Mooreovy-Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. +more V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.