Násobení skalárem

Technology

12 hours ago

Author

Násobení skalárem je v matematice jednou ze základních operací definujících vektorový prostor v lineární algebře (nebo obecněji, modul v abstraktní algebře). V intuitivním geometrickém kontextu násobení reálného vektoru kladným reálným číslem mění jeho velikost bez změny jeho směru. Samotný termín „skalár“ je odvozen z tohoto použití: skalár je to, co škáluje (mění velikost) vektorů. Výsledkem násobení vektoru skalárem je vektor, na rozdíl od skalárního součinu dvou vektorů, jehož výsledkem je skalár.

Definice

Obecně jestliže K je těleso a V je vektorový prostor nad K, pak násobení skalárem je funkce z K × V do V. Výsledek aplikace této funkce na c z tělesa K a v z vektorového prostoru V označujeme c'v'.

Vlastnosti

Pro násobení skalárem platí následující vztahy (vektory jsou v polotučně): * Aditivita skalárů: (c + d)v = c'v + d'v; * Aditivita vektorů: c(v + w) = c'v + c'w; * Asociativita součinu skalárů s násobením skalárem: (cd)v = c(d'v); * 1 je neutrální prvek: 1v = v; * Násobení nulou dává nulový vektor: 0v = 0; * Násobení −1 dává opačný vektor: (−1)v = −v'. Přitom + je sčítání buď v tělese anebo ve vektorovém prostoru; a 0 je neutrální prvek vůči sčítání v obou. +more Zapsání dvou symbolů za sebou znamená buď násobení skalárem nebo operaci násobení v tělese.

Interpretace

Násobení skalárem může být považováno za externí binární operaci nebo za akci tělesa na vektorovém prostoru. Geometrickou interpretací násobení skalárem je zvětšíní nebo zmenšení vektoru o konstantní faktor.

Můžeme uvažovat speciální případ, kdy V=K; pak násobení skalárem je prostě násobením v tělese.

Když V je Kn, násobení skalárem je ekvivalentní s násobením každé komponenty skalárem a může být i takto definováno.

Stejný přístup lze použít, pokud K je komutativní okruh a V je modul nad K. K může dokonce být polookruh, ale pak neexistuje inverzní prvek pro sčítání. +more Jestliže K není komutativní, lze místo jedné operace „násobení skalárem“ definovat dvě operace - násobení skalárem zleva c'v a násobení skalárem zprava v'c.