Hamiltonova funkce

Hamiltonova funkce (též označovaná jako hamiltonián - pod tímto pojmem však bývá obvykle myšlen Hamiltonův operátor) označuje ve fyzice funkci vyjadřující energii fyzikálního systému v zobecněných souřadnicích a hybnostech.

Hamiltonova funkce hraje důležitou úlohu v Hamiltonovské formulaci mechaniky.

Funkce je pojmenována po Williamu Rowanu Hamiltonovi.

Definice

Hamiltonova funkce mechanického systému s m \, stupni volnosti je definována vztahem: :H(q_1,q_2,. q_m,p_1,p_2,. +morep_m,t)= \sum_{i=1}^m \dot q_i\, p_i - L(q_1,q_2,. q_m,\dot q_1,\dot q_2,. ,\dot q_m,t), kde L \, je Lagrangeova funkce systému a na pravé straně jsou zobecněné rychlosti \dot{\mathbf{q}} vyjádřené jako funkce zobecněných souřadnic q_1,q_2,. q_m \,, zobecněných hybností p_1,p_2,. p_m \, a případně času t, tzn. :\dot q_j = \dot q_j(q_1,q_2,. q_m,p_1,p_2,. p_m,t).

Vlastnosti

Hamiltonova funkce se nemění při pohybu, u kterého Lagrangeova funkce není explicitně závislá na čase. Dosadí-li se totiž Lagrangeovy pohybové rovnice do totální derivace Lagrangeovy funkce: :\frac {\mathrm d L}{\mathrm d t} = \sum_i \frac {\partial L}{\partial q_i} \dot q_i + \sum_i \frac {\partial L}{\partial \dot q_i} \ddot q_i + \frac {\partial L}{\partial t} = \sum_{i} \frac {\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q_i \right) + \frac {\partial L}{\partial t} , poslední člen je vzhledem k explicitní nezávislosti lagrangiánu nulový, a dosadí-li se Lagrangeovy pohybové rovnice, vychází: : \frac {\mathrm d}{\mathrm d t} \left[ \sum_{i} \left( \frac {\partial L}{\partial \dot q_i}\dot q_i \right) - L \right] = \frac {\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \sum_{i} p_i \dot q_i - L \right) = \frac {\mathrm d H}{\mathrm d t} = 0

Lagrangeovu funkci L(q_1,q_2,. q_m,\dot q_1,\dot q_2,. +more,\dot q_m,t) lze získat z Hamiltonovy funkce H(q_1,q_2,. q_m,p_1,p_2,. p_m,t) \, dosazením za p_j \, zobecněných souřadnic, rychlostí a času podle Hamiltonových rovnic.

Přechod od Lagrangeovy k Hamiltonově funkci, tedy přechod od proměnných q_j, \dot q_j k proměnným q_j, p_j \,, se nazývá Legendreova duální transformace.

Hustota hamiltoniánu

Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota hamiltoniánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem :H = \int \mathcal H(q_j(\mathbf{x}),p_j(\mathbf{x}),t) \,\mathrm d^3 \mathbf{x}

Jednoduché příklady

Hamiltonova funkce pro pohyb volné částice (hmotného bodu): :H = \frac{\vec{p}^2}{2m} * Hamiltonova funkce částice s nábojem q \, v elektromagnetickém poli s elektrickým potenciálem \varphi \, a vektorovým potenciálem \vec{A}: :H = \frac{(\vec{p} - q\vec{A})^2}{2m} + q \varphi * Hamiltonova funkce relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s q \,): :H = \sqrt{m^2 c^4 + (\vec{p} - q\vec{A})^2 c^2} + q \varphi

Literatura

Související články

Hamiltonovská formulace mechaniky * Hamiltonův operátor * Lagrangeova funkce

Kategorie:Teoretická mechanika