Divergence (operátor)

Divergence je diferenciální operátor udávající, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně.

Definice

Příklad divergnece vektorové funkce na ploše. +more Operátor divergence je definován jako působení operátoru nabla prostřednictvím skalárního součinu na vektorovou funkci \mathbf{F}:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}:.

::\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \begin{bmatrix}{\partial\over\partial x},&{\partial\over\partial y},&{\partial\over\partial z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z\end{bmatrix} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}

kde \mathbf{F}=\vec \imath F_x+\vec \jmath F_y+\vec k F_z, kde F_x,F_y,F_z jsou spojitě diferencovatelné funkce proměnných x,y,z a vektory \vec \imath, \vec \jmath, \vec k jsou vektory kanonické ortonormální báze 3rozměrného Eukleidovského prostoru ve směrech kartézských souřadných os x,y,z.

Operátor divergence se označuje \mathrm{div}. Pro výpočet divergence vektorového pole dvou proměnných formálně dodefinováváme třetí komponentu F_z nulovou.

Nabla je diferenciální operátor, značí se symbolem \nabla (tj. symbolem nabla, názvu hebrejského strunného nástroje podobného tvaru), jakožto notací pro zkrácený zápis. +more Svým diferenciálním charakterem působí operátor napravo (tedy na symboly stojící napravo od něj), přičemž se projevuje jeho vektorový charakter. Zcela výjimečně se lze setkat také s tím, že je operátor nabla označován jako Hamiltonův operátor, neboť jej jako první používal sir William Rowan Hamilton. Označení Hamiltonův operátor je však téměř výhradně používáno pro hamiltonián. To je operátor celkové energie v kvantové mechanice, který se od operátoru nabla zásadně liší.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit působením operátoru nabla prostřednictvím skalárního součinu na vektor \mathbf{F} = [F_1 , \ldots , F_n]:

:\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n},

kde operátor nabla má tvar: {\nabla} \equiv \left[\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right].

Vlastnosti

Jsou-li \mathbf F, \mathbf G vektorová pole, f skalární pole, a, b reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující rovnosti:

:\nabla\cdot(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a\;\nabla\cdot \mathbf{F} + b\;\nabla\cdot \mathbf{G} :\nabla\cdot(f \mathbf{F}) = \nabla f \cdot \mathbf{F} + f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \;\mathrm{div}\mathbf{F}.

Pro divergenci vektorového součinu platí: :\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G}), kde \nabla \times \mathbf F je rotace \mathbf F.

Divergence rotace je rovna nule: :\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Je-li \mathbf{F} vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích má operátor divergence tvar: :\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r ) \over \partial r} + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial F_z \over \partial z}.

Ve sférických souřadnicích má operátor divergence tvar: :\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} ( F_\theta\sin\theta ) + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}.

V obecných ortogonálních souřadnicích má divergence s využitím Laméových koeficientů h_1,h_2,h_3 tvar: :\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial q_1} + \frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial q_2} + \frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial q_3} \right).

Zápis význačných vzorců pomocí operátoru nabla

Pro libovolná skalární pole \varphi, \psi, f a vektorová pole \mathbf{A}, \mathbf{B} platí následující početní operace:

:\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi

:\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})

:\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}

:\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi

:\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})

:\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi (viz také Laplaceův operátor)

:\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}

:\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi

:\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}

:\nabla\times\nabla\varphi=\mathbf{0}

:\nabla\times (\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\Delta\mathbf{A}

Souvislost s Laplaceovým operátorem

Platí, že operátor nabla na druhou funkce je Laplaceův operátor dané funkce: :\Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}.

Toto má uplatnění například v matematické fyzice, objevuje se například v Poissonově rovnici, rovnici vedení tepla, vlnové rovnici a Schrödingerově rovnici.

Užití

Je-li např. zkoumaným polem tok tepla, potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

V praktických aplikacích divergence figuruje v rovnici kontiniuty a používá se tak k modelování vedení tepla, difuze, proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů.

Ve vektorové analýze divergenci využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

V tenzorové analýze se operátor nabla prokázal jako důležitý příklad kovariantního tenzoru.

Ve speciální teorii relativity se používá také analogie operátoru nabla pro čtyřvektory.

Literatura

Související články

Rotace (operátor) * Gradient (matematika) * Laplaceův operátor * Hamiltonův operátor * Parciální derivace

Externí odkazy

Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Vektorový počet