Rovnice vedení tepla

Animace řešení rovnice vedení tepla na čtvercové kovové desce. Výška a zarudnutí udávají teplotu v každém bodě. Počáteční stav má oblast rovnoměrně horkého kopyta (červená) obklopenou rovnoměrně studenou oblastí (žlutá). Postupem času se teplo šíří do chladné oblasti. Ve fyzice je rovnice vedení tepla difuzní rovnicí vyjadřující difuzi tepla v materiálu. Na rozdíl od klasické difuzní rovnice však rovnice vedení tepla nepracuje s hustotou veličiny podléhající difuzi, ale vyjadřovacím prostředkem rovnice vedení tepla je lépe měřitelná a do jisté míry ekvivalentní veličina, teplota. V matematice rovnici vedení tepla často chápeme obecněji v prostoru libovolné konečné dimenze a zpravidla předpokládáme, že transformací souřadné soustavy a vhodnou volbou jednotek je rovnice převedena na tvar bez smíšených derivací a bez fyzikálních konstant. Proto má v matematické literatuře rovince vedení tepla poněkud jiný tvar než v literatuře fyzikální.

Matematická rovnice vedení tepla

Matematická formulace rovnice nestacionárního vedení tepla je

: \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}.

Je běžné označovat t jako „čas“ a (x_1,x_2,\dots,x_n) jako „prostorové proměnné“, a to i v abstraktních kontextech, kde tyto pojmy nemají svůj intuitivní význam. Diferenciální operátor na pravé straně je Laplacián.

Viz též Rovnice vedení tepla

Fyzikální rovnice vedení tepla

Ve fyzikálních a inženýrských aplikacích má rovnice vedení tepla tvar \varrho c \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot \left(\lambda \nabla T\right), kde \rho je hustota, c je měrná tepelná kapacita, \lambda je součinitel tepelné vodivosti, \nabla\cdot je operátor divergence a \nabla T je gradient teploty. Jedná se o rovnici kontinuity bez zdrojů a s tokem vyjádřeným pomocí Fourierova zákona.

==== Homogenní izotropní materiál ==== Pro homogenní izotropní materiál a součinitel tepelné vodivosti nezávislý na teplotě se rovnice redukuje na \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T,kde \nabla^2 je Laplaceův operátor a \alpha = \frac{\lambda }{\rho c} je tepelná difuzivita. Tepelnou difuzivitu je možno chápat jako schopnost materiálu vyrovnávat teplotu.

==== Anizotropní materiál ==== Pro anizotropní materiál je součinitel tepelné vodivosti obecně tenzorem druhého řádu a v kartézských souřadnicích má rovnice vedení tepla tvar \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\lambda_{ij} \frac{\partial T}{\partial x_j}\right),kde (x_1,x_2,x_3)=(x,y,z). Je-li \lambda_{ij} symetrický tenzor, je možno vhodnou volbou souřadné soustavy docílit toho, že je tento tenzor představován diagonální maticí, což redukuje rovnici na \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\lambda_{ii} \frac{\partial T}{\partial x_i}\right)neboli (po rozepsání sumy) \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \left(\lambda_{11} \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial }{\partial y} \left(\lambda_{22} \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial }{\partial z} \left(\lambda_{33} \frac{\partial T}{\partial z}\right). +more .

==== Vedení tepla v homogenní tyči ==== Pro jednorozměrnou tyč se rovnice vedení tepla redukuje na \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right). Pokud součinitel tepelné vodivosti \lambda nezávisí ani na poloze (tj. +more materiál je homogenní) ani na teplotě (tj. materiál má lineární materiálovou charakteristiku, splňuje lineární materiálový vztah), je možné použít formulaci s druhou derivací ve tvaru \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} se součinitelem tepelné vodivosti, nebo \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} s tepelnou difuzivitou.

==== Započtení tepelných zdrojů nebo spotřebičů ==== Rovnici vedení tepla je možno doplnit i členem vyjadřujícím ztráty nebo generování tepla. Například u jednorozměrné rovnice vedení tepla se ztrátami vyzařováním je možné ztráty modelovat podle Stefan-Boltzmannova zákona členem \mu \left(T^4 - v^4\right), kde v=v(x,t) je teplota okolí a \mu je koeficient, který závisí na fyzikálních vlastnostech materiálu. +more Rovnice má poté tvar\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} - \frac{\mu}{c \rho}\left(T^4 - v^4\right).

Fyzikální interpretace členů rovnice vedení tepla

Pro fyzikální interpretaci (například pro jednorozměrný případ) je vhodnější uvažovat rovnici ve tvaru \rho c\frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x}, \quad q = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}.

* Derivace teploty podle času \frac{\partial T}{\partial t} udává, jak rychle roste teplota v čase (pro dané místo a daný okamžik). * Levá strana rovnice \rho c\frac{\partial T}{\partial t} udává, jak rychle roste tepelná energie v jednotkovém množství materiálu (tj. +more na jednotku délky). * Derivace teploty podle prostorové souřadnice \frac{\partial T}{\partial x} je jednorozměrný gradient a udává, jak prudce na jednotku délky roste teplota ve směru souřadné osy. * Výraz q = -\lambda \frac{ \partial T}{\partial x} podle Fourierova zákona udává tok tepla, tj. množství tepla, které projde průřezem tyče za jednotku času ve směru souřadné osy. * Výraz \frac{\partial q}{\partial x} udává nárůst toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce. * Výraz - \frac{\partial q}{\partial x}udává pokles toku tepla ve směru souřadné osy na jednotkové délce. Rovnice vyjadřuje, že úbytek v toku tepla v daném místě se "použije" na zvýšení teploty materiálu v tomto místě.

Poznámky

Rovnice vedení tepla nepředpokládá pohyb prostředí. V případě vedení tepla v pohybujícím se mediu je možné doplnit rovnici dalším členem, který podchycuje efekt přenosu tepla vlivem pohybu prostředí.

Reference

Související články

Vedení tepla * Rovnice kontinuity * Difuzní rovnice * Fourierův zákon

Externí odkazy

Kategorie:Parciální diferenciální rovnice