Fundovaná relace

Fundovaná relace je matematický pojem z oboru teorie množin, který popisuje druh relace podobný dobrému uspořádání.

Definice

Relace R je fundovaná na třídě A, jestliže každá její neprázdná podmnožina \emptyset \neq B \subseteq A \,\. má R-minimální prvek označovaný symbolem min_R(B) \,\. +more .

Prvek x = min_R(B) \,\! označíme za R-minimální prvek množiny B, pokud platí

x \isin B \land ( \forall y \isin B) \neg ( [y,x] \isin R ) \,\!

Vysvětlení a vlastnosti pojmu

R-minimální prvek je takový prvek nějaké podmnožiny B, pro který neexistuje žádný menší (ve smyslu relace R) v této podmnožině. Důvod, proč nemluvíme rovnou o minimálním prvku je ten, že nikde není řečeno, že fundovaná relace R je uspořádání - což ostatně opravdu nemusí být pravda.

Fundovaná relace totiž opravdu nemusí být uspořádání, i když na první pohled trochu připomíná ostré uspořádání. Problém je v tom, že fundovaná relace nemusí být (na rozdíl od uspořádání) tranzitivní.

Příklad: Na tříprvkové množině \{ 1,2,3 \} \,\. definujme relaci R = \{ [1,2], [2,3] \} \,\. +more . Snadno se dá ověřit, že taková relace je fundovaná, ale není tranzitivní - to by totiž musela obsahovat i uspořádanou dvojici [1,3] \,\. .

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádný konečný cyklus (v tom se podobá ostrému uspořádání).

Kdybychom v předchozím příkladě přidali dvojici [3,1] \,\. , vznikla by relace R = \{ [1,2], [2,3], [3,1] \} \,\. +more , která již není fundovaná - množina \{ 1,2,3 \} \,\. nemá v tomto případě žádný R-minimální prvek.

Fundovaná relace nesmí obsahovat žádnou nekonečnou klesající posloupnost (v tom se podobá dobrému uspořádání).

Pokud najdu posloupnost prvků a_0, a_1, a_2, \ldots \,\. takových že pro každé i je [a_{i+1},a_i] \isin R \,\. +more , pak množina \{ a_0, a_1, a_2, \ldots \} \,\. nemá žádný R-minimální prvek.

Konečný cyklus je zvláštní případ, vedoucí na nekonečnou klesající posloupnost - pokud se vrátím k předchozímu příkladu s relací R = \{ [1,2], [2,3], [3,1] \} , můžu sestrojit nekonečnou klesající posloupnost \{ 3,2,1,3,2,1,3,2,1,3, \ldots \} .

Z axiomu výběru se dá ukázat, že relace R je fundovaná tehdy a jen tehdy, když neobsahuje nekonečnou klesající posloupnost.

Význam pojmu

Axiom fundovanosti

Motivace k zavedení pojmu a jeho význam vyplývá z axiomu fundovanosti.

Tento axiom lze v ekvivalentní podobě zapsat jako \mathbb{WF} = \mathbb{V} \,\. , kde \mathbb{WF} \,\. +more je fundované jádro a \mathbb{V} \,\. univerzální třída, tj. třída všech množin.

Podstatou důkazu výše uvedené ekvivalence, je věta, podle které je \mathbb{WF} \,\. největší tranzitivní třída, na které je relace \isin \,\. +more fundovaná.

Transfinitní indukce a rekurze

Na každé třídě s fundovanou relací takovou, že levým obrazem každého prvku je množina (a ne vlastní třída), se dá provádět fundovaná indukce a fundovaná rekurze, jejichž speciálním případem je transfinitní indukce a transfinitní rekurze přes fundovanou operaci náležení na ordinálních číslech; ještě speciálnějšími případy jsou matematická indukce a rekurze přes přirozená čísla.

Související články

Axiom fundovanosti * Axiom výběru * Fundované jádro * Dobré uspořádání * Mostowského kolaps

Kategorie:Teorie uspořádání